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# 6.3: Grupos alternos

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Tenga en cuenta que cada$$k$$ ciclo$$(a_1a_2\ldots a_k)\in S_n$$ puede escribirse como un producto de transposiciones (no necesariamente disjuntas):

\ begin {ecuación*} (a_1a_2\ lpuntos a_k) = (a_1a_k) (a_1a_ {k-1})\ cdots (a_1a_3) (a_1a_2). \ end {ecuación*}

Nosotros, por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema$$\PageIndex{1}$$

Cada permutación en$$S_n$$ puede escribirse como un producto de transposiciones.

Teorema$$\PageIndex{2}$$

Toda permutación en$$S_n$$ es par o impar, pero no ambas.

Prueba

Ya sabemos que toda permutación en$$S_n$$ es producto de transposiciones, por lo que debe ser par o impar. Para probar que ninguna permutación es par e impar, véase, por ejemplo, la Prueba 1 o 2 del Teorema 9.15 en la p. 91 en [1].

Lema$$\PageIndex{1}$$

Para cada uno$$2\leq k\leq n\text{,}$$ entonces un$$k$$ -ciclo es par si$$k$$ es impar, e impar si$$k$$ es par.

Tenemos el siguiente teorema, cuya prueba se deja como ejercicio para el lector.

Teorema$$\PageIndex{3}$$

El conjunto de todas las permutaciones pares en$$S_n$$ es un subgrupo de$$S_n\text{.}$$

Terminamos con este teorema, cuya prueba se puede encontrar en la p. 93 de [1].

Teorema$$\PageIndex{4}$$

$$|A_n|= \dfrac{(n!)}{2} \text{.}$$

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