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6.3: Grupos alternos

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Tenga en cuenta que cada\(k\) ciclo\((a_1a_2\ldots a_k)\in S_n\) puede escribirse como un producto de transposiciones (no necesariamente disjuntas):

    \ begin {ecuación*} (a_1a_2\ lpuntos a_k) = (a_1a_k) (a_1a_ {k-1})\ cdots (a_1a_3) (a_1a_2). \ end {ecuación*}

    Nosotros, por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Cada permutación en\(S_n\) puede escribirse como un producto de transposiciones.

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Toda permutación en\(S_n\) es par o impar, pero no ambas.

    Prueba

    Ya sabemos que toda permutación en\(S_n\) es producto de transposiciones, por lo que debe ser par o impar. Para probar que ninguna permutación es par e impar, véase, por ejemplo, la Prueba 1 o 2 del Teorema 9.15 en la p. 91 en [1].

    Lema\(\PageIndex{1}\)

    Para cada uno\(2\leq k\leq n\text{,}\) entonces un\(k\) -ciclo es par si\(k\) es impar, e impar si\(k\) es par.

    Tenemos el siguiente teorema, cuya prueba se deja como ejercicio para el lector.

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    El conjunto de todas las permutaciones pares en\(S_n\) es un subgrupo de\(S_n\text{.}\)

    Terminamos con este teorema, cuya prueba se puede encontrar en la p. 93 de [1].

    Teorema\(\PageIndex{4}\)

    \(|A_n|= \dfrac{(n!)}{2} \text{.}\)


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