6.4: Teorema de Cayley

Uno podría preguntarse qué tan “comunes” son los grupos de permutación en matemáticas. Son, resulta, ubicuos en el álgebra abstracta: de hecho, ¡cada grupo puede ser pensado como un grupo de permutaciones! Esto lo demostraremos, pero primero necesitamos el siguiente lema. (No utilizaremos los mapas\(\rho_a\) ni los\(c_a\text{,}\) definidos a continuación, en nuestro teorema, sino que los definiremos aquí para su posible uso futuro).

Lema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(G\) ser un grupo y\(a\in G\text{.}\) Entonces las siguientes funciones son permutaciones sobre\(G\text{,}\) y por lo tanto son elementos de\(S_G\text{:}\)

• \(\lambda_a\,:\,G\to G\)definido por\(\lambda_a(x)=ax\text{;}\)
• \(\rho_a\,:\,G\to G\)definido por\(\rho_a(x)=xa\text{;}\)
• \(c_a\,:\,G\to G\)definido por\(c_a(x)=axa^{-1}\text{.}\)

Prueba

Para demostrar que\(λ_a\) es una bijección, primero asuma\(x_1,x_2∈G\) con\(λ_a(x_1)=λ_a(x_2)\). Entonces\(ax_1=ax_2\); entonces, por cancelación izquierda,\(x_1=x_2\). Así,\(λ_a\) es uno a uno. Además, cada uno\(y∈G\) es igual a\(λ_a(a^{−1}y)\) para\(a^{−1}y∈G\), así\(λ_a\) está encendido. Así,\(λ_a\) es una bijección de\(G\) a\(G\): es decir, es una permutación en\(G\). Las pruebas de que\(ρ_a\) y\(c_a\) son bijecciones son similares.

Definición: Multiplicación izquierda, multiplicación derecha y conjugación

Decimos eso\(\lambda_a\text{,}\)\(\rho_a\text{,}\) y\(c_a\) realizamos\(G\text{,}\) respectivamente, multiplicación izquierda por\(a\), multiplicación derecha por\(a\), y conjugación por\(a\). (Nota: A veces, cuando la gente habla de conjugación por\(a\) su lugar se refieren a la permutación de\(G\) que envía cada uno\(x\) a\(a^{-1}xa\text{.}\))

Para demostrar que\(\lambda_a\) es una bijección, primero asumir\(x_1,x_2 \in G\) con\(\lambda_a(x_1)=\lambda_a(x_2)\text{.}\)\(ax_1=ax_2\text{;}\) Entonces así, por cancelación izquierda,\(x_1=x_2\text{.}\) Así,\(\lambda_a\) es uno-a-uno. Además, cada uno\(y\in G\) es igual\(\lambda_a(a^{-1}y)\) para\(a^{-1}y\in G\text{,}\) así\(\lambda_a\) está encendido. Así,\(\lambda_a\) es una bijección de\(G\) a\(G\text{:}\) eso es, es una permutación en\(G\text{.}\) Las pruebas de que\(\rho_a\) y\(c_a\) son bijecciones son similares.

Ahora estamos listos para nuestro teorema:

Teorema\(\PageIndex{1}\): Cayley's Theorem

Seamos\(G\) un grupo. Entonces\(G\) es isomórfico a un subgrupo de\(S_G\text{.}\) Así, cada grupo puede ser pensado como un grupo de permutaciones.

Prueba

Para cada uno\(a∈G\), dejemos\(λ_a\) definirse, como arriba, por\(λ_a(x)=ax\) para cada uno\(x∈G\); recordemos que cada uno\(λ_a\) está adentro\(S_G\). Ahora define\(\phi:G→S_G\) por\(\phi(a)=λ_a\), para cada uno\(a∈G\).

Afirmamos que\(\phi\) es tanto un homomorfismo como uno a uno. Efectivamente, vamos\(a,b∈G\). Ahora,\(\phi(a)\phi(b)\) y\(\phi(ab)\) son ambas funciones con dominio\(G\), así que necesitamos mostrar\((\phi(a)\phi(b))(x)=(\phi(ab))(x)\) para cada una\(x∈G\). Bueno, vamos\(x∈G\). Entonces

\(\begin{array}& (\phi(a)\phi(b))(x)&=(λ_aλ_b)(x)\\ &=λ_a(λ_b(x)) &(\text{since the operation on \(S_G\)es composición})\\ & =λ_a (bx) &\\ &=a (bx) &\\ &= (ab) x&\\ &=λ_ {ab} (x) &\\ & =(\ phi (ab)) (x). &\ end {matriz}\)

Entonces\(\phi\) is a homomorphism. Further, if \(a,b∈G\) with \(\phi(a)=\phi(b)\), then \(λ_a=λ_b\). In particular, \(λ_a(e)=λ_b(e)\). But \(λ_a(e)=ae=a\) and \(λ_b(e)=be=b\), so \(a=b\). Thus, \(\phi\) is one-to-one.

Ya que por definición\(\phi(G)\) tenemos que\(\phi\) mapas\(G\) sobre\(\phi(G)\), concluimos que\(\phi\) proporciona un isomorfismo del\(G\) al subgrupo\(\phi(G)\) de\(S_G\).

Observación

En general,\(\phi(G) \neq S_G\text{,}\) por lo que no podemos concluir que\(G\) sea isomórfico\(S_G\) consigo mismo; más bien, solo podemos concluir que es isomórfico a algún subgrupo de\(S_G\text{.}\)

Observación

Si bien elegimos usar los mapas\(\lambda_a\) para probar el teorema anterior, también podríamos haber usado los mapas\(\rho_a\) o\(c_a\text{,}\) en su lugar.