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# 6.5: Grupos Diedros

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Los grupos diedros son grupos de simetrías de$$n$$ gones regulares. Empezamos con un ejemplo.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Consideremos un triángulo regular$$T\text{,}$$ con vértices etiquetados$$1\text{,}$$$$2\text{,}$$ y$$3\text{.}$$ mostramos$$T$$ a continuación, también usando líneas punteadas para indicar una línea vertical de simetría de$$T$$ y una rotación de$$T\text{.}$$

Tenga en cuenta que si reflexionamos$$T$$ sobre la línea punteada vertical (indicada en la imagen por$$f$$), se$$T$$ mapea sobre sí misma, con$$1$$ mapeo hacia$$1\text{,}$$$$2$$ y y$$3$$ mapeado entre sí. Del mismo modo, si giramos en$$T$$ sentido horario$$120^{\circ}$$ (indicado en la imagen por$$r$$),$$T$$ nuevamente se mapea sobre sí mismo, esta vez con$$1$$$$2\text{,}$$$$2$$ mapeo para$$3$$ mapear a$$3\text{,}$$ y mapear a$$1\text{.}$$ Ambos mapas se llaman simetrías de$$T\text{;}$$$$f$$ es una reflexión o volteo y$$r$$ es una rotación.

Por supuesto, estas no son las únicas simetrías de$$T\text{.}$$ Si componemos dos simetrías de$$T\text{,}$$ obtenemos una simetría de por$$T\text{:}$$ ejemplo, si aplicamos el mapa$$f\circ r$$ a$$T$$ (significado primero hacer$$r\text{,}$$ luego hacer$$f$$) obtenemos reflexión sobre la línea que se conecta$$2$$ a el punto medio del segmento de línea$$\overline{13}\text{.}$$ Del mismo modo, si aplicamos el mapa$$f\circ (r\circ r)$$ a$$T$$ (primero hacer$$r$$ dos veces, luego hacer$$f$$) obtenemos reflexión sobre la línea$$3$$ que conecta con el punto medio del segmento de línea$$\overline{12}\text{.}$$ De hecho, cada simetría de se$$T$$ puede obtener componiendo aplicaciones de$$f$$ y aplicaciones de$$r\text{.}$$

Por conveniencia de la notación, omitimos los símbolos de composición, la escritura, por ejemplo,$$fr$$ para$$f\circ r\text{,}$$$$r\circ r$$ como$$r^2\text{,}$$ etc. Resulta que hay exactamente seis simetrías de$$T\text{,}$$ a saber:

1. el mapa$$e$$ desde$$T$$ hasta el$$T$$ envío de cada elemento a sí mismo;
2. $$f$$(es decir, reflexión sobre la línea que conecta$$1$$ y el punto medio de$$\overline{23}$$);
3. $$r$$(es decir, rotación en sentido horario$$120^{\circ}$$);
4. $$r^2$$(es decir, rotación en sentido horario$$240^{\circ}$$);
5. $$fr$$(es decir, reflexión sobre la línea que conecta$$2$$ y el punto medio de$$\overline{13}$$); y
6. $$fr^2$$(es decir, reflexión sobre la línea que conecta$$3$$ y el punto medio de$$\overline{12}$$).

Declarando que$$f^0=r^0=e\text{,}$$ el conjunto

\ begin {ecuación*} D_3=\ {e, f, r, r^2, fr, fr^2\} =\ {f^ir^j:i=0,1, j=0,1,2\}\ end {ecuación*}

es la colección de todas las simetrías de$$T\text{.}$$

Observación

Observe eso$$rf=fr^2$$ y que$$f^2=r^3=e\text{.}$$

Teorema$$\PageIndex{1}$$

$$D_3$$es un grupo bajo composición.

Prueba

En primer lugar, como se señaló anteriormente,$$rf=fr^2$$. Por lo que cualquier mapa del formulario se$$f^ir^jf^kr^l$$$$(i,k=0,1,\;\; j,l=0,1,2)$$ puede escribir en el formulario$$f^sr^t$$ para algunos$$s,t∈N$$. Por último, dejemos$$R_2(s)$$ y$$R_3(t)$$ sean los restos cuando dividas$$s$$ por$$2$$ y$$t$$ por$$3$$; entonces$$f^sr^t=f^{R_2(s)}r^{R_3(t)}∈D_3$$. Así$$\langle D_3, \circ \rangle$$ es una estructura binaria.

A continuación, la composición de la función es siempre asociativa, y la función ee actúa claramente como elemento de identidad en$$D_3$$. Por último, vamos$$x=f^ir^j∈D_3$$. Entonces$$y=r^{3−j}f^{2−i}$$ está en$$D_3$$ con$$xy=yx=e$$. Así$$D_3$$ es un grupo.

Veamos de$$D_3$$ otra manera. Tenga en cuenta que cada mapa en$$D_3$$ puede describirse de manera única por cómo permuta los vértices$$1,2,3$$ de$$T\text{:}$$ eso es, cada mapa en se$$D_3$$ puede identificar de manera única con un elemento único de$$S_3\text{.}$$ Por ejemplo,$$f$$ corresponde a la permutación$$(23)$$ en$$S_3\text{,}$$ while $$fr$$corresponde a la permutación$$(13)\text{.}$$ En resulta que$$D_3 \simeq S_3\text{,}$$ a través de la siguiente correspondencia.

$$e \mapsto e$$

$$f \mapsto (23)$$

$$r \mapsto (123)$$

$$r^2 \mapsto (132)$$

$$fr \mapsto (13)$$

$$fr^2 \mapsto (12)$$

El grupo$$D_3$$ es un ejemplo de clase de grupos llamados grupos diedros.

Definición: Grupo Diedro

Dejar$$n$$ ser un entero mayor que o igual a$$3\text{.}$$ Dejamos$$D_n$$ ser la colección de simetrías del$$n$$ -gon regular. Resulta que$$D_n$$ es un grupo (ver abajo), llamado el grupo diedro de orden$$2n$$. (Nota: Algunos libros y matemáticos en cambio denotan el grupo de simetrías del$$n$$ -gon regular por$$D_{2n}$$ —entonces, por ejemplo, nuestro$$D_3\text{,}$$ anterior, en su lugar se llamaría$$D_6\text{.}$$ Asegúrese de estar al tanto de la convención que está usando su libro o colega.)

Teorema$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$n$$ ser un entero mayor que o igual a$$3\text{.}$$ Entonces, de nuevo usando la convención que$$f^0=r^0=e\text{,}$$$$D_n$$ puede describirse de manera única como

\ begin {ecuación*} d_n=\ {f^ir^j: i=0,1, j=0,1,\ lpuntos, n-1\}\ final {ecuación*}

con las relaciones

\ begin {ecuación*} rf=fr^ {n-1}\ texto {y} f^2=r^n=e.\ final {ecuación*}

El grupo diedro grupo$$D_n$$ is a nonabeliano de orden$$2n\text{.}$$

Prueba

La prueba de que$$D_n$$ es un grupo es paralela a la prueba, arriba, que$$D_3$$ es un grupo. Está claro que$$D_n$$ es nonabeliano (e.g.,$$rf=fr^{n−1}≠fr$$) y tiene orden$$2n$$.

Observación

A lo largo de este curso, si estamos discutiendo un grupo$$D_n$$ debe asumir$$n\in \mathbb{Z}^+\text{,}$$$$n\geq 3\text{,}$$ a menos que se indique lo contrario.

Definición: Forma estándar

Decimos que un elemento de$$D_n$$ está escrito en forma estándar si está escrito en la forma$$f^ir^j$$ donde$$i\in \{0,1\}$$ y$$j\in \{0,1,\ldots,n-1\}\text{.}$$

Teorema$$\PageIndex{3}$$

Cada uno$$D_n$$ es isomórfico a un subgrupo de$$S_n\text{.}$$

Prueba

Presentamos aquí un boceto de una prueba; los detalles se dejan como ejercicio para el lector. Se describió anteriormente cómo$$D_3$$ es isomórfico a un subgrupo (es decir, el subgrupo impropio) de$$S_3$$. Se puede demostrar que cada uno$$D_n$$ es isomórfico a un subgrupo de$$S_n$$ etiquetando de manera similar los vértices del$$n$$ -gon regular$$1,2,…,n$$ y determinando cómo estos vértices son permutados por cada elemento de$$D_n$$.

Nota

Si bien en realidad$$D_3$$ es isomórfico a$$S_3$$ sí mismo, porque$$n>3$$ tenemos que no$$D_n$$ es isomórfico a$$S_n$$ sino que es más bien isomórfico a un subgrupo apropiado de$$S_n\text{.}$$ Cuando se$$n>3$$ puede ver que$$D_n$$ no puede ser isomórfico a$$S_n$$ ya que$$|D_n|=2n \lt n! = |S_n|$$ para$$n>3\text{.}$$

Es importante poder hacer cálculos con elementos específicos de grupos diedros. Tenemos el siguiente teorema.

Teorema$$\PageIndex{4}$$

Las siguientes relaciones se mantienen$$D_n\text{,}$$ en cada$$n\text{:}$$

1. Para cada$$i\text{,}$$$$r^if=fr^{-i}$$ (en particular,$$rf=fr^{-1}=fr^{n-1}$$);

2. $$o(fr^i)=2$$para cada$$i$$ (en particular,$$f^2=e$$);

3. $$o(r)=o(r^{-1})=n\text{;}$$

4. Si$$n$$ es par, entonces se$$r^{n/2}$$ conmuta con cada elemento de$$D_n\text{.}$$

Prueba

1. Utilizamos inducción en el exponente de$$r$$. Eso ya lo sabemos$$r^1f=fr^{−1}$$. Ahora supongamos$$r^{i−1}f=fr^{−(i−1)}$$ para algunos$$i≥2$$. Entonces

$$r^if=r(r^{i−1}f)=r(fr^{−(i−1)})=(rf)r^{−i+1}=(fr^{−1})r^{−i+1}=fr^{−i}$$.

1. Por cada$$i$$,$$fr^i≠e$$, pero

$$(fr^i)^2=(fr^i)(fr^i)=f(r^if)r^i=f(fr^{−i})r^i=f^2r^0=e$$.

1. Esto se deduce del teorema$$5.1.5$$ y del hecho de que o (r) =no (r) =n.
2. El comprobante de esta afirmación se deja como ejercicio para el lector.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

1. Escribir$$fr^2f$$$$D_3$$ en forma estándar. Haz lo mismo para$$fr^2f$$ en$$D_4\text{.}$$
2. De que es lo inverso$$fr^3$$ en$$D_5\text{?}$$ Escribirlo en forma estandar.
3. Describir explícitamente un isomorfismo de$$D_4$$ a un subgrupo de$$S_4\text{.}$$

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Clasificar los siguientes grupos hasta isomorfismo. (Pista: Es posible que desee ver el número de elementos de grupo que tienen un orden finito específico).

\ begin {ecuación*}\ mathbb {Z},\ mathbb {Z} _6,\ mathbb {Z} _2, S_6,\ mathbb {Z} _4,\ mathbb {Q}, 3\ mathbb {Z},\ mathbb {R}, S_2,\ mathbb {R} ^*, S_3,\ mathbb {Q} ^*,\ mathbb {C {} ^*,\ langle\ pi\ rangle\ text {in}\ mathbb {R} ^*,\ end {ecuación*}

\ begin {ecuación*} D_6,\ langle (134) (25)\ rangle\ text {in} S_5,\ mathbb {R} ^+, D_3,\ langle r\ rangle\ texto {en} D_4, 17\ mathbb {Z}\ end {ecuación*}

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