6.6: Ejercicios

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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

A lo largo de todo, escriba todas las permutaciones usando notación de ciclo disjunta y escriba todos los elementos del grupo diedro en forma estándar.

Vamos\(\sigma=(134)\text{,}\)\(\tau=(23)(145)\text{,}\)\(\rho=(56)(78)\text{,}\) y\(\alpha=(12)(145)\) en\(S_8\text{.}\) Compute lo siguiente.

\(\sigma \tau\)
\(\tau \sigma\)
\(\tau^2\)
\(\tau^{-1}\)
\(o(\tau)\)
\(o(\rho)\)
\(o(\alpha)\)
\(\langle \tau\rangle\)

2. Demostrar Lema 6.3.4.

3. Demostrar que\(A_n\) es un subgrupo de\(S_n\text{.}\)

4. Demostrar o desacreditar: El conjunto de todas las permutaciones impares en\(S_n\) is a subgroup of \(S_n\text{.}\)

5. Dejar\(n\) ser un entero mayor que 2. \(m \in \{1,2,\ldots,n\}\text{,}\)y let\(H=\{\sigma\in S_n\,:\,\sigma(m)=m\}\) (en otras palabras,\(H\) es el conjunto de todas las permutaciones en\(S_n\) ese arreglo\(m\)).

Demostrar que\(H\leq S_n\text{.}\)
Identificar un grupo familiar al que\(H\) sea isomórfico. (No es necesario mostrar ningún trabajo.)

6. Escribir\(rfr^2frfr\)\(D_5\) en forma estándar.

7. Demostrar o desacreditar:\(D_6\simeq S_6\text{.}\)

8. Qué elementos de\(D_4\) (si los hay)

tener orden\(2\)?
tener orden\(3\text{?}\)

9. \(n\)Sea un entero par que sea mayor o igual a\(4\). Demostrar\(r^{n/2}\in Z(D_n)\text{:}\) que es decir, demostrar\(r^{n/2}\) que se desplaza con cada elemento de\(D_n\text{.}\) (NO se limite a referirse a la última declaración en Teorema\(6.5.4\); esa es la afirmación que está demostrando aquí.)