7.3: El índice de un subgrupo y el teorema de Lagrange

Definición: Índice

Definimos el índice de\(H\) in\(G\),\((G:H)\text{,}\) denotado como la cardinalidad de\(G/H\text{.}\)

Observación

Si siempre\(H\leq G\text{,}\) hay tener el mismo número de cosets izquierdos y cosets derechos de\(H\) en\(G\text{.}\) La prueba de esto se deja como ejercicio para el lector.

(Tenga en cuenta que su prueba debe aplicarse incluso cuando hay infinitamente muchos cosets izquierdo y/o derecho de\(H\) en\(G\text{.}\) Pista: Mostrar hay una bijección entre\(G/H\) y el conjunto de todos los cosets correctos de\(H\) in\(G\text{.}\))

En los casos en los que\(G/H\) contiene infinitamente muchos elementos, no nos preocuparemos por la cardinalidad específica, y podemos simplemente decir que el índice de\(H\) in\(G\) es infinito, y escribir\((G:H)=\infty\text{.}\) Sin embargo, podemos, por supuesto, distinguir entre índices contablemente infinitos e incontables infinitos.

Obsérvese que si\(G\) es finito entonces\((G:H)\) debe ser finito; sin embargo, vemos a continuación que si\(G\) es infinito entonces\((G:H)\) podría ser finito o infinito.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si\((\mathbb{R}:\mathbb{Z})\) fueran finitos, entonces seríamos capaces de escribir\(\mathbb{R}\) como una unión finita de conjuntos contables, lo que implica que\(\mathbb{R}\) es contable, lo que no lo es. Por lo tanto,\((\mathbb{R}:\mathbb{Z})=\infty\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ya que\(\langle i\rangle =\{i,-1,-i,1\}\) es un subgrupo finito de\(C^*\) y\(C^*\) es infinito, debemos tener eso\((C^*:\langle i\rangle )\) es infinito. Sin embargo,\((C^*:C^*)=1\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Refiriéndose a nuestros ejemplos anteriores, tenemos:

\ begin {ecuación*} (S_3:\ langle (12)\ rangle) =3,\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*} (D_4:\ langle f\ rangle) =4,\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*} (\ mathbb {Z} :5\ mathbb {Z}) =5,\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*} (4\ mathbb {Z} :12\ mathbb {Z}) =3,\ end {ecuación*}\ begin {ecuación*}\ text {y} (\ mathbb {Z} _ _ {12}:\ langle 4\ rangle ) =4. \ end {ecuación*}

Observe que en los casos en los que\(G\) es finito,\((G:H)=|G|/|H|\text{.}\) Esto tiene sentido, ya que los cosets izquierdos de\(H\) en\(G\) partición\(G\text{,}\) y cada coconjunto izquierdo tiene cardinalidad\(|H|\text{.}\)

Dado que los coconjuntos izquierdos de un subgrupo\(H\) de una\(G\) partición de grupo\(G\) y todos tienen la misma cardinalidad, tenemos los siguientes dos teoremas. El primero es conocido como Teorema de Lagrange (llamado así por el matemático francés Joseph-Louis Lagrange).

Teorema\(\PageIndex{1}\): Lagrange's Theorem

Si\(G\) es un grupo finito y\(H\leq G\text{,}\) luego se\(|H|\) divide\(|G|\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Si\(G\) es un grupo finito y\(H\leq G\text{,}\) luego\((G:H)=|G|/|H|\text{.}\)

Observación

Lo contrario del Teorema de Lagrange no se sostiene. De hecho\(A_4\) es un grupo de orden\(12\) que no contiene subgrupo de orden a\(6\) pesar de que\(6\) divide\(|A_4|=12\text{.}\)

Terminamos este capítulo con dos corolarios al Teorema de Lagrange.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(G\) ser un grupo finito y dejar\(a\in G\text{.}\) Entonces\(a^{|G|}=e_G\text{.}\)

Prueba

Vamos\(d=o(a)\). Por el teorema de Lagrange\(|G|\),\(d\) divide, entonces existe\(k∈ \mathbb{Z}\) con\(|G|=dk\). Entonces\(a^{|G|}=a^{dk}=(a^d)^k=(e_G)^k=e_G\).

Let\(d=o(a)\text{.}\) Por Teorema de Lagrange,\(d\) divide\(|G|\text{,}\) así existe\(k\in \Z\) con\(|G|=dk\text{.}\) Entonces\(a^{|G|}=a^{dk}=(a^d)^k=(e_G)^k=e_G.\)

Por último, tenemos el siguiente corolario, cuya prueba se deja como ejercicio para el lector.

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Dejemos\(G\) ser un grupo de primer orden. Entonces\(G\) es cíclico. De ello se deduce que por cada primo\(p\text{,}\) existe un grupo único de orden\(p\text{,}\) hasta el isomorfismo.