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1.3: Primes y factorización

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Objetivos de aprendizaje

En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:

• ¿Qué son los primos? ¿Qué propiedades tienen?
• ¿Qué dice el Teorema Fundamental de la Aritmética?
• ¿Por qué es cierto el teorema fundamental de la aritmética?

Como se describe en la Introducción, nuestro objetivo principal es construir una comprensión estructural profunda de la noción de factorización. Es decir, dividir objetos (por ejemplo, números, polinomios, matrices) en productos de otros objetos. Uno de los ejemplos más familiares de este proceso consiste en factorizar enteros en productos de primos.

Definición: Prime

Dejar$$p > 1$$ ser un número natural. Decimos que$$p$$ es primo si cada vez que$$a,b\in \mathbb{Z}$$ tal que$$p\mid ab\text{,}$$ cualquiera$$p\mid a$$ o$$p\mid b\text{.}$$

Se dice que un número natural$$m > 1$$ es compuesto si no es primo.

Es casi seguro que esta no es la definición de prime con la que estás familiarizado desde tus días escolares, lo que probablemente decía algo en el sentido de que un primo$$p > 1$$ es un número natural solo divisible por 1 y por sí mismo. Sin embargo, Definición: Prime suele ser más útil que la definición habitual. Y, como demuestra Lemma 1.3.1 , las dos nociones son equivalentes.

Lema 1.3.1 : Lema de Euclides

Dado que cualquiera$$p\in \mathbb{N}\text{,}$$$$p > 1\text{,}$$$$p$$ es primo si y solo si cada vez que$$m\in \mathbb{N}$$ divide$$p\text{,}$$ cualquiera$$m = p$$ o$$m = 1\text{.}$$

Exploración 1.3.1

Usando Lemma 1.3.1 como guía, dar una caracterización bicondicional para números compuestos. Es decir, terminar la frase: “Un número$$m\in\mathbb{N}$$ es compuesto si y sólo si...”

Observación 1.3.1

¿Cómo trata tu definición al número 1? La primalidad de 1 ha sido objeto de mucho debate que se remonta a los griegos (la mayoría de los cuales no consideró que 1 fuera un número). A lo largo de la historia, los matemáticos han visto en ocasiones 1 como primo, y en otras ocasiones, no primo. El argumento principal para la no primalidad de 1 es que si 1 se tomara como primo, necesitaríamos formular teoremas como el Teorema Fundamental de la Aritmética (abajo) de tal manera que solo se puedan considerar factorizaciones primos que no incluyan 1. Porque, si 1 es primo, tendríamos que considerar, por ejemplo,$$6 = 2\cdot 3 = 1\cdot 2 \cdot 3 = 1\cdot 1\cdot 2\cdot 3$$ como tres factorizaciones diferentes de 6 en primos.

Sin embargo, tampoco es 1 compuesto (tu definición debería descartarlo de alguna manera). En cambio, llamamos al 1 una unidad, que exploraremos más a fondo en Definición: Unidad y lo siguiente; en consecuencia, lo contrario de “primo” no es “compuesto”, sino “no primo”.

Teorema 1.3.1

Que$$a\in \mathbb{N}$$ tal que$$a > 1\text{.}$$ Entonces hay un primo$$p$$ tal que$$p\mid a\text{.}$$

Teorema 1.3.2

Supongamos$$p$$ y$$q$$ son primos con$$p|q\text{.}$$ Entonces$$p = q\text{.}$$

Nuestro primer teorema mayor hace dos afirmaciones: que los enteros positivos mayores que 1 pueden ser factorizados en productos de primos, y que esta factorización puede ocurrir de una sola manera. A medida que avanza el semestre, veremos otros teoremas como este, y vislumbraremos otras formas de pensar sobre la propiedad de factorización única.

Teorema Fundamental de Aritemética

Cada número natural mayor que 1 es un número primo o puede expresarse como un producto finito de números primos donde la expresión es única hasta el orden de los factores.

La prueba se divide en dos partes: existencia (Teorema 1.3.3 ) y singularidad (Teorema 1.3.4 ).

Teorema 1.3.3 : Teorema Fundamental de la Aritmética—Parte de Existencia

Cada número natural$$n > 1$$ es un número primo o puede expresarse como un producto finito de números primos. Es decir, por cada número natural$$n > 1\text{,}$$ existen primos$$p_1, p_2, \ldots, p_m$$ y números naturales$$r_1, r_2, \ldots, r_m$$ tales que

\ begin {ecuación*} n = p_1^ {r_1} p_2^ {r_2}\ cdots p_m^ {r_m}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Pista

¡Inducción!

Teorema 1.3.4 : Teorema Fundamental de la Aritmética—Parte de Unicidad

Dejar$$n$$ ser un número natural. Dejar$$\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$ y$$\{q_1,q_2,\ldots,q_s\}$$ ser conjuntos de primos con$$p_i\ne p_j$$ si$$i\ne j$$ y$$q_i\ne q_j$$ si$$i\ne j\text{.}$$ Let$$\{r_1,r_2,\ldots,r_m\}$$ y$$\{t_1,t_2,\ldots,t_s\}$$ ser conjuntos de números naturales tales que

\ begin {align*} n &= p_1^ {r_1} p_2^ {r_2}\ cdots p_m^ {r_m}\\ &= q_1^ {t_1} q_2^ {t_2}\ cdots q_s^ {t_s}\ text {.} \ end {alinear*}

Entonces$$m = s$$ y Es$$\{p_1,p_2,\ldots,p_m\} = \{q_1,q_2,\ldots,q_s\}\text{.}$$ decir, los conjuntos de primos son iguales pero sus elementos no están necesariamente listados en el mismo orden (es decir,$$p_i$$ pueden o no ser iguales$$q_i$$). Además, si$$p_i = q_j\text{,}$$ entonces$$r_i = t_j\text{.}$$ En otras palabras, si expresamos el mismo número natural como producto de primos distintos, entonces las expresiones son idénticas excepto por el orden de los factores.

Pista

Argumentan que los dos conjuntos son iguales (¿cómo hacemos eso?). Entonces argumentan que los exponentes también deben ser iguales.

Nuestro primer resultado importante está en la mano: podemos factorizar los números naturales de$$n > 2$$ manera única como producto de primos. Gran parte del resto de este libro busca deducir una generalización de este resultado que se basa en propiedades aritméticas estructurales que disfrutan$$\mathbb{Z}$$ y objetos similares.

Referencias

[1] D. Marshall, E. Odell, M. Starbird, Teoría de números a través de la investigación, Libros de texto MAA, Asociación Matemática de América, 2007

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