1.4: Los enteros módulo m
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En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:
- ¿Qué son las relaciones de equivalencia?
- ¿Qué es el módulo de congruencia?\(m\text{?}\)
- ¿Cómo se\(\mathbb{Z}_m\) compara la aritmética con la aritmética en\(\mathbb{Z}\text{?}\)
La base para nuestra exploración del álgebra abstracta está casi completa. Necesitamos los fundamentos de un “sistema numérico” más para poder apreciar el enfoque abstracto desarrollado en capítulos posteriores. Para construir ese sistema numérico se requiere una breve revisión de las relaciones y relaciones de equivalencia. Recordemos que los conjuntos dados\(S\) y\(T\text{,}\) el producto cartesiano de\(S\) con\(T\text{,}\) denotado\(S\times T\) (”\(S\) cruz\(T\) “), es el conjunto de todos los pares ordenados posibles cuyo primer elemento es de\(S\) y el segundo elemento es de\(T\text{.}\) Simbólicamente,
\ comenzar {ecuación*} S\ veces T =\ {(s, t): s\ en S,\ t\ en T\}. \ end {ecuación*}
Dejar\(S\) ser un conjunto no vacío. Una relación\(R\) sobre\(S\) es un subconjunto de\(S\times S\text{.}\) Si\(x,y\in S\) tal que\((x,y)\in R\text{,}\) solemos escribir\(xRy\) y decir eso\(x\) y\(y\) están relacionados bajo \(R\).
La noción de relación como se presentó anteriormente es extremadamente abierta. Cualquier subconjunto de pares ordenados de\(S\times S\) describe una relación en el conjunto Por\(S\text{.}\) supuesto, algunas relaciones son más significativas que otras; la rama de las matemáticas conocida como teoría del orden estudia las relaciones de orden (como la familiar\(\lt\)). Nuestro enfoque estará en las relaciones de equivalencia, que aíslan las características importantes de\(=\text{.}\)
Dejar\(S\) ser un conjunto no vacío. Decimos que una relación\(\sim\) on\(S\) es una relación de equivalencia si se mantienen las siguientes propiedades:
- \(\sim\)es reflexivo: si\(a\in S\text{,}\) entonces\(a\sim a\text{.}\)
- \(\sim\)es simétrico: si\(a,b\in S\) con\(a\sim b\text{,}\) entonces\(b\sim a\text{.}\)
- \(\sim\)es transitivo: si\(a,b,c\in S\) con\(a\sim b\) y\(b\sim c\text{,}\) luego\(a\sim c\text{.}\)
Dado\(x\in S\text{,}\) el conjunto
\ begin {ecuación*}\ overline {x} =\ {y\ en S: x\ sim y\}\ fin {ecuación*}
se llama la clase de equivalencia de \(x\). Cualquier elemento\(z\in \overline{x}\) se llama un representante de la clase de equivalencia.
Demostrar que “tiene el mismo cumpleaños que” es una relación de equivalencia en el conjunto\(P\) de todas las personas.
¿Qué otras relaciones se te ocurren? Anote un ejemplo y otro no ejemplo de una relación de equivalencia.
Demostrar que no\(\le\) es una relación de equivalencia en\(\mathbb{Z}\text{.}\)
Para nuestros propósitos, una relación de equivalencia particularmente importante es el módulo de congruencia\(m\) en el conjunto de enteros.
Vamos\(a,b\in \mathbb{Z}\) y\(m \in \mathbb{N}\text{,}\)\(m > 1\text{.}\) decimos que \(a\)es congruente al \(b\)módulo \(m\)si\(m\mid a-b\text{.}\) escribimos\(a \equiv b\mod m\text{.}\)
Justificar las siguientes congruencias.
- \(\displaystyle 18 \equiv 6\mod 12\)
- \(\displaystyle 47 \equiv 8\mod 13\)
- \(\displaystyle 71 \equiv 1\mod 5\)
- \(\displaystyle 21 \equiv -1 \mod 11\)
- \(\displaystyle 24 \equiv 0\mod 6\)
Dado un módulo de\(m > 1\text{,}\) congruencia entera\(m\) es una relación de equivalencia en\(\mathbb{Z}\text{.}\)
Encuentra todas las clases de equivalencia de\(\mathbb{Z}_5\) y\(\mathbb{Z}_7\text{.}\)
Dejar\(a,b, c,d\in \mathbb{Z}\) y\(m > 1\) tal que\(a\equiv c\mod m\) y\(b\equiv d\mod m\text{.}\) Entonces\(a+b \equiv c + d \mod m\text{.}\)
Dejar\(a,b, c,d\in \mathbb{Z}\) y\(m > 1\) tal que\(a\equiv c\mod m\) y\(b\equiv d\mod m\text{.}\) Entonces\(ab \equiv c d\mod m\text{.}\)
Dejar\(S\) ser un conjunto y\(\sim\) una relación de equivalencia en\(S\text{.}\) Entonces una declaración\(P\) sobre las clases de equivalencia de\(S\) está bien definida si el representante de la clase de equivalencia no importa. Es decir, siempre que\(\overline{x} = \overline{y}\text{,}\)\(P(\overline{x}) = P(\overline{y})\text{.}\)
Los ejercicios anteriores justifican las siguientes definiciones.
Let\(m > 1\) y\(a,b\in \mathbb{Z}_m\text{.}\) Entonces las siguientes son operaciones bien definidas sobre las clases de equivalencia:
- Módulo de adición\(m\):\(\overline{a} + \overline{b} := \overline{a+b}\text{.}\)
- Módulo de multiplicación\(m\):\(\overline{a}\cdot \overline{b} := \overline{a\cdot b}\text{.}\)
La mayoría de las proposiciones elementales sobre se\(\mathbb{Z}_m\) pueden reformular como declaraciones sobre\(\mathbb{Z}\text{.}\) Por ejemplo, al probar el teorema 1.4.2 probablemente demostró que si\(m|a-c\) y\(m|b-d\) que\(m|(a+b)-(c+d)\text{.}\) Sin embargo, a medida que las declaraciones se vuelven más complejas, remodelando repetidamente declaraciones sobre\(Z_m\) como declaraciones sobre\(\mathbb{Z}\) se vuelve engorroso e inútil. En su lugar, se le anima a sentirse cómodo haciendo módulo aritmético\(m\) o, dicho de otra manera, aritmética con las clases de equivalencia de\(\mathbb{Z}_m\) como se define en Definición: Modulo.
Sin pasar de nuevo para\(\mathbb{Z}\text{,}\) encontrar el número entero no negativo más pequeño representativo de las clases de equivalencia resultantes.
- \(\overline{5}+\overline{11}\)en\(\mathbb{Z}_{9}\)
- \(\overline{-3}+\overline{-3}\)en\(\mathbb{Z}_{6}\)
- \(\overline{8}\cdot\overline{3}\)en\(\mathbb{Z}_{19}\)
- \(\overline{-1}\cdot(\overline{3}+\overline{8})\)en\(\mathbb{Z}_{7}\)
- \(\overline{3}\cdot(\overline{5}^2+\overline{3}^3)\)en\(\mathbb{Z}_{20}\)
En el resto de esta sección, investigamos las propiedades fundamentales de la aritmética en\(\mathbb{Z}_m\text{.}\)
Que\(\overline{a},\overline{b},\overline{c}\in \mathbb{Z}_m\) con\(\overline{c}\ne\overline{0}\) y\(m > 1\text{.}\) Si\(\overline{a}\cdot \overline{c} = \overline{b}\cdot \overline{c}\text{,}\) es cierto que\(\overline{a} = \overline{b}\text{?}\) Si es así, devuélvelo. Si no, encuentra un ejemplo de cuándo la declaración no se sostiene.
Dejar\(a,b,c\text{,}\) y\(m\) ser enteros con\(m > 1\) y\(\gcd(c,m)=1\text{.}\) Luego hay algunos\(x\in \mathbb{Z}\) tales que\(\overline{c} \overline{x} = \overline{1}\text{.}\)
Concluir que si\(\overline{a} \cdot\overline{c} = \overline{b}\cdot\overline{c}\) en\(\mathbb{Z}_m\) eso\(\overline{a} = \overline{b}\text{.}\)
Que\(p\in \mathbb{N}\) sean primos y\(\overline{a},\overline{b},\overline{c}\in \mathbb{Z}_p\) tal que\(\overline{c}\ne \overline{0}\text{.}\) Entonces
- hay algunos\(\overline{x}\in \mathbb{Z}_p\) tales que\(\overline{c}\cdot \overline{x} = \overline{1}\text{;}\) y,
- si\(\overline{a} \cdot\overline{c} = \overline{b}\cdot\overline{c}\text{,}\)\(\overline{a} = \overline{b}\text{.}\)