4.1: Ideales en general
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En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:
- ¿Qué operaciones podemos realizar sobre los ideales existentes para crear nuevos ideales?
- ¿Cómo podemos describir los ideales (no principales) en general?
Recordemos que una de las formas en que entendemos un objeto matemático es estudiar su relación con otros objetos matemáticos. En álgebra, aprendemos sobre un anillo estudiando su relación con otros anillos a través de funciones (introducidas en la Sección 4.2) y con sus ideales, introducidos en Definición: Ideal.
La noción de un número ideal fue introducida por primera vez por Ernst Kummer a mediados del siglo XIX. Kummer estaba estudiando los enteros ciclotómicos en relación con el trabajo sobre el último teorema de Fermat y las leyes de reciprocidad en la teoría de números, y descubrió, para usar nuestra terminología moderna, que estos anillos de enteros ciclotómicos no eran UFD. En particular, encontró enteros ciclotómicos irreducibles que no eran primos. Su obra, que fue terminada por Richard Dedekind en 1871, consistía en definir una nueva clase de número complejo, un número ideal para el que se sostenía la factorización única en números ideales primos. Esta noción de número ideal fue posteriormente elaborada por David Hilbert y Emmy Noether en la versión más general que afirmamos en Definición: Ideal.
En esta sección, exploramos formas de describir ideales no principales. También exploramos las propiedades de los ideales, así como sus conexiones con otros campos de las matemáticas.
Primero exploramos el comportamiento de los ideales bajo las operaciones habituales de intersección y unión.
\(R\)Déjese ser un anillo y\(\{I_{\alpha}\}_{\alpha\in \Gamma}\) que sea una familia de ideales. Entonces\(I = \bigcap\limits_{\alpha\in \Gamma} I_\alpha\) es un ideal.
\(R\)Dejen ser un anillo y\(I,J\subseteq R\) sean ideales. Debe\(I\cup J\) ser un ideal de\(R\text{?}\) Dar una prueba o contraejemplo de su afirmación.
Además de las propiedades teóricas de conjuntos descritas anteriormente, podemos hacer aritmética con ideales.
Déjese\(R\) ser un anillo e\(I,J\subseteq R\) ideales de\(R\text{.}\) Entonces la suma de\(I\) y\(J\text{,}\)
\ comenzar {ecuación*} I+J: =\ {x+y: x\ en I, y\ en J\},\ fin {ecuación*}
es un ideal de\(R\text{.}\) Además, el producto de\(I\) y\(J\text{,}\)
\ begin {ecuación*} IJ: =\ {x_1 y_1 + x_2 y_2 +\ cdots + x_n y_n: n\ ge 1, x_i\ en I, y_j\ en J\}\ end {ecuación*}
es un ideal de\(R\text{.}\)
Cuando estudiamos los ideales principales, pudimos describir el ideal principal en términos de un solo elemento generador. Sin embargo, no todos los ideales son principales (ver el Desafío\ (\ PageIndex {1}\)). Aún así, nos gustaría una manera de describir con mayor precisión los elementos de tales ideales; comenzamos con Definición: Conjunto Generador para el Ideal.
Dejar\(R\) ser un anillo conmutativo con identidad, y dejar\(S\subseteq R\) ser un subconjunto. Entonces
\ begin {ecuación}\ langle S\ rangle: =\ bigcap\ limits_ {\ subestack {J\ supseteq S\\ texto {\(J\)es un ideal}}} J\ label {eq_idealgeneratedbyset}\ tag {4.1.1}\ end {ecuación}
se llama el ideal generado por \(S\), y llamamos\(S\) al grupo generador para el ideal.
Una consecuencia de Definición: Grupo Generador para el Ideal es el siguiente teorema.
\(R\)Déjese ser un anillo. Entonces\(\langle \emptyset \rangle= \{0\}\text{.}\)
Una forma de interpretar Definición: Generando Conjunto para el Ideal es que\(\langle S \rangle\) es el ideal más pequeño (con respecto a la inclusión de subconjuntos) que contiene\(S\text{.}\)
Dado un anillo conmutativo\(R\) y un subconjunto\(S\) de\(R\text{,}\)\(\langle S \rangle\) es el ideal más pequeño que contiene\(S\) en el sentido de que, si\(J\) es cualquier ideal de\(R\) contener\(S\text{,}\)\(\langle S \rangle\subseteq J\text{.}\)
El concepto elucidado por el Teorema 4.1.4 es útil, pero no nos da un control sobre la estructura de los elementos de\(\langle S \rangle\text{.}\) Tal descripción es proporcionada por Teorema 4.1.5 .
Dado un anillo conmutativo con identidad\(R\) y un subconjunto no vacío\(S\) de\(R\text{:}\)
- El conjunto\(I = \{r_1 s_1 + r_2 s_2 + \cdots + r_n s_n: r_i\in R, \ s_j \in S,\ n\ge 1 \}\) es un ideal de\(R\text{;}\)
- \(S\subseteq I\text{;}\)y
- \(I = \langle S \rangle\text{.}\)
En otras palabras, el ideal\(\langle S \rangle\) contiene todas las sumas finitas posibles de productos de elementos de anillo con elementos de\(S\text{.}\)
Si\(R\) es un anillo y\(S = \{s_1, s_2, \ldots, s_n\}\) es un subconjunto finito\(R\text{,}\) del ideal\(I\) generado por\(R\) se denota por\(I = \langle s_1, s_2, \ldots, s_n \rangle \text{,}\) y decimos que\(I\) se genera finitamente.
El anillo no\(\mathbb{Z}[x]\) es un PID.
PistaConsidera el ideal\(I = \langle 2, x \rangle\text{.}\)
Tenga en cuenta que el conjunto\(S\) en Teorema 4.1.5 no necesita ser finito. Sin embargo, en muchos anillos familiares, cada ideal tendrá un conjunto generador finito, como demuestra el siguiente teorema.
\(R\)Déjese ser un anillo. Si\(R\) es noeteriano 1, entonces cada ideal\(I\) de\(R\) se genera finitamente.
- 1
-
Recordar Definición: Noeteriano.
- Pista
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Considerar un ideal arbitrario\(I\) y construir inductivamente una cadena ascendente de ideales finitamente generados contenidos en\(I\text{.}\)
De hecho, podríamos haber utilizado la generación finita de ideales como definición de anillos noeterianos, ya que las dos nociones son equivalentes. Primero, un lema.
\(R\)Déjese ser un anillo y\(I_1 \subseteq I_2\subseteq I_3\subseteq \cdots \) una cadena ascendente de ideales. Entonces
\ begin {ecuación*} I =\ bigcup\ limits_ {j=1} ^\ infty i_j\ end {ecuación*}
es un ideal.
Que\(R\) sea un anillo tal que cada ideal de\(R\) se genere finitamente. Entonces\(R\) es noeteriano.
- Pista
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Argumentan que el ideal\(I\) definido en Lema 4.1.1 es un ideal finitamente generado de\(R\text{,}\) y utilícelo para concluir que la cadena ascendente se estabiliza.
Como cabría esperar, no todos los anillos son noeterianos. Sin embargo, la mayoría de los anillos familiares son.
Mostrar que el anillo\(R = \mathbb{Q}[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) de polinomios en infinitamente muchas variables sobre no\(\mathbb{Q}\) es noeteriano ya sea al exhibir una cadena ascendente de ideales que nunca se estabiliza, o un ideal sin un conjunto generador finito.
Cerramos con una discusión sobre una clase de ideales que son objeto de investigación matemática activa. Recordemos que una gráfica (simple)\(G\) consiste en un conjunto\(V = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) de vértices junto con una colección\(E\) de aristas, que son solo pares de vértices y se pueden escribir\(x_i x_j\text{.}\) Esta notación sugiere la siguiente definición.
Let\(K\) be a field,\(G\) a graph on the vertex set\(V = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) with edge set\(E\text{,}\) and let\(R = K[x_1, x_2, \ldots, x_n]\) be the ring of polinomios cuyas variables son los vértices de\(G\) con coeficientes en\(K\text{.}\) Definir el borde ideal de\(G\) ser
\ begin {ecuación*} I (G) :=\ langle x_i x_j\ mid x_i x_j\ en E\ rangle. \ end {ecuación*}
Es decir,\(I(G)\) es generado por los productos de las variables correspondientes a los bordes de la gráfica.
Considere la gráfica\(G\) en la Figura 4.1.1 . Enumere los generadores de\(I(G)\) y un anillo apropiado en el que\(I(G)\) pueda vivir.
Como cabría esperar, no hacemos Definición: Edge Ideal meramente por diversión; dada una gráfica es\(G\text{,}\) posible relacionar las propiedades teórico-gráficas de\(G\) (e.g., el número cromático) con las propiedades ideal-teóricas de\(I(G)\text{.}\) See Reference [1] y Reference [2], entre otras, para más.