4.2: Homomorfismos

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:

• ¿Qué es un homomorfismo de anillo?
• ¿Cuáles son algunos ejemplos de homomorfismos de anillo?

Central para las matemáticas modernas es la noción de función ¹. Las funciones surgen en todas las áreas de las matemáticas, cada subdisciplina se ocupa de ciertos tipos de funciones. En álgebra, nuestra preocupación es con las funciones de preservación de la operación, como las transformaciones lineales\(L : V\to W\) de espacios vectoriales que ha visto en un curso en álgebra lineal. Esas transformaciones lineales tuvieron las propiedades que\(L(\mathbf{v}+\mathbf{u}) = L(\mathbf{v})+L(\mathbf{u})\) (se conserva la adición) y\(L(c\mathbf{u}) = c L(\mathbf{u})\) (se conserva la multiplicación escalar).

Esta sección asume una familiaridad con la idea de función desde un punto de vista teórico de conjunto, así como los conceptos de funciones inyectivas (uno a uno), suryectivas (onto) y biyectivas (correspondencias uno a uno).

Encontramos algo similar en el estudio de los homomorfismos de anillos, que definimos como funciones que preservan tanto la adición como la multiplicación.

Definición: Homomorfismo

Dejar\(R\) y\(S\) ser anillos conmutativos con identidad. Una función\(\varphi : R\to S\) es un homomorfismo llamado anillo si conserva suma, multiplicación, y envía la identidad de\(R\) a la identidad de Es\(S\text{.}\) decir, para todos\(x,y\in R\text{:}\)

• \(\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y)\text{,}\)
• \(\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)\text{,}\)y
• \(\varphi(1_R) = 1_S\text{.}\)

Si\(\varphi\) es una bijección, decimos que\(\varphi\) es un isomorfismo y escribimos\(R\mathbb{C}ong S\text{.}\) Si\(\varphi : R\to R\) es un isomorfismo, decimos\(\varphi\) es un automorfismo de\(R\text{.}\)

Nuestro primer trabajo a la hora de vislumbrar un nuevo concepto es recolectar un stock de ejemplos.

Exploración 4.2.1

Determinar si las siguientes funciones son homomorfismos, isomorfismos, automorfismos, o ninguna de estas. Obsérvese que\(R\) denota un anillo conmutativo arbitrario con identidad.

1. \(\varphi : R\to R\)definido por\(\varphi(x)=x\)
2. \(\psi : R\to R\)definido por\(\psi(x)=-x\)
3. \(\alpha : \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\)definido por\(\alpha(x)=5x\)
4. \(F : \mathbb{Z}_2[x]\to \mathbb{Z}_2[x]\)definido por\(F(p) = p^2\)
5. \(\iota : \mathbb{C}\to \mathbb{C}\)definido por\(\iota(a+bi)=a-bi\text{,}\) donde\(a,b\in \mathbb{R}, i^2 = -1\)
6. \(\beta : \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_{5}\)definido por\(\beta(x) = \overline{x}\)
7. \(\epsilon_r : R[x] \to R\)definido por\(\epsilon_r(p(x)) = p(r)\) (esto se conoce como el mapa\(r\) -evaluación)
8. \(\xi : \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_{10}\)definido por\(\xi(\overline{x}) = \overline{5x}\)

Los homomorfismos dan lugar a una clase particularmente importante de subconjuntos: los granos.

Definición: Kernel

\(\varphi : R \to S\)Déjese ser un homomorfismo de anillo. Entonces\(\ker \varphi =\{r\in R : \varphi(r)=0_S\}\) es el núcleo de\(\varphi\text{.}\)

Actividad 4.2.1

Por cada homomorfismo en Exploración 4.2.1 , encuentra (con justificación), el kernel.

De hecho, los granos no son solo subconjuntos importantes de anillos; son ideales.

Teorema 4.2.1

Dado un anillo, el homomorfismo\(\varphi : R\to S\text{,}\)\(\ker\varphi\) es un ideal

Los granos también dan una manera útil de determinar si sus homomorfismos definitorios son uno a uno.

Teorema 4.2.2

Que\(\varphi : R\to S\) sea un homomorfismo. Entonces\(\varphi\) es uno a uno si y solo si\(\ker\varphi = \{0\}\text{.}\)