4.3: Anillos de cociente: Anillos nuevos desde el Viejo

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:

• ¿Cómo podemos usar ideales para construir anillos nuevos a partir de los viejos?
• ¿Qué tipo de ideales nos permiten construir dominios? ¿Campos?
• ¿Qué es el Teorema del Primer Isomorfismo?

Si los únicos anillos que existieron fueran anillos polinomiales, sistemas familiares de números como\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\text{,}\) y anillos matriciales, todavía habría suficiente para justificar la definición del concepto de anillo y explorar sus propiedades. Sin embargo, estos no son los únicos anillos que existen. En esta sección, exploramos una forma de construir nuevos anillos a partir de lo antiguo a través de ideales. Para comprender mejor estos nuevos anillos, también definiremos dos nuevas clases de ideales: ideales primos e ideales máximos. Terminamos conectando brevemente estos anillos a un problema familiar del álgebra de secundaria.

4.3.1 Congruencia módulo I

El concepto principal de esta sección es la noción de congruencia módulo\(I\text{.}\) Uno puede pensar razonablemente en esta idea como una generalización del módulo de congruencia\(m\) en\(\mathbb{Z}\text{.}\)

Definición: Congruente Modulo

Dejar\(R\) ser un anillo y\(I\) un ideal de\(R\text{.}\) Entonces\(a,b\in R\) se dice que los elementos son congruentes modulo \(I\)si\(b-a\in I\text{.}\) Si este es el caso, escribimos\(a + I = b + I\text{.}\)

Actividad 4.3.1

Determinar (con una breve justificación) si\(a + I = b + I\) en los siguientes anillos\(R\text{.}\)

1. \(a = 9\text{,}\)\(b = 3\text{,}\)\(I = \langle 6\rangle\text{,}\)\(R = \mathbb{Z}\)
2. \(a = 10\text{,}\)\(b = 4\text{,}\)\(I = \langle 7\rangle\text{,}\)\(R = \mathbb{Z}\)
3. \(a = 9\text{,}\)\(b = 3\text{,}\)\(I = \langle 6\rangle\text{,}\)\(R = \mathbb{Z}[x]\)
4. \(a = x^2+x-2\text{,}\)\(b = x-1\text{,}\)\(I = \langle x+1\rangle\text{,}\)\(R = \mathbb{Q}[x]\)
5. (Desafío. )\(a = x^3\text{,}\)\(b = x^2+2x\text{,}\)\(I = \langle y-x^2, y-x-2\rangle\text{,}\)\(R = \mathbb{Q}[x,y]\)

Exploración 4.3.1

Dado un anillo\(R\text{,}\) ideal\(I\text{,}\) y\(a\in R\text{,}\) cuando es el caso que\(a + I = 0 + I = I\text{?}\)

Observe que si\(b-a \in I\text{,}\) entonces hay alguna\(x\in I\) tal que\(b-a = x\text{,}\) y así\(b = a+x\text{.}\)

Como fue el caso en\(\mathbb{Z}_m\text{,}\) congruencia módulo\(I\) es una relación de equivalencia.

Teorema 4.3.1

Dejar\(R\) ser un anillo y\(I\) un ideal de\(R\text{.}\) Entonces módulo de congruencia\(I\) es una relación de equivalencia en\(R\text{.}\)

El conjunto de clases de equivalencia bajo esta relación se denota\(R/I\text{.}\) Lo que es más, esto no es simplemente un conjunto de clases de equivalencia. Como demuestran los dos teoremas siguientes, este conjunto posee dos operaciones algebraicas que se extienden naturalmente desde las de\(R\text{.}\)

Teorema 4.3.2

Dejar\(R\) ser un anillo y\(I\) un ideal de\(R\text{.}\) Si\(a,b,c,d\in R\) tal que\(a+I = b+I\) y\(c+I = d+I\text{,}\) luego\((a+c) + I = (b+d) + I\text{.}\)

Teorema 4.3.3

Dejar\(R\) ser un anillo y\(I\) un ideal de\(R\text{.}\) Si\(a,b,c,d\in R\) tal que\(a+I = b+I\) y\(c+I = d+I\text{,}\) luego\(ac + I = bd + I\text{.}\)

Los dos teoremas anteriores juntos muestran que la suma y la multiplicación en el conjunto\(R/I\) están bien definidas. Como estas operaciones se construyen sobre las operaciones de la\(R\text{,}\) misma probablemente no te sorprenderá al enterarte de que también se mantienen los axiomas habituales que definen un anillo.

Teorema 4.3.4

Dejar\(R\) ser un anillo conmutativo con identidad\(1_R\) y\(I\) un ideal de\(R\text{.}\) El conjunto de clases de equivalencia modulo\(I\text{,}\) denotado\(R/I\text{,}\) es un anillo conmutativo con identidad\(1_R + I\) bajo las operaciones de modulo de suma\(I\) y modulo de multiplicacion\(I\) definido en Teorema 4.3.2 y Teorema 4.3.3 .

Así, dado un anillo\(R\) e ideal\(I\) de\(R\text{,}\) que podamos construir un nuevo anillo\(R/I\text{.}\) En la Subsección 4.3.2, exploraremos la cuestión de cuándo\(R/I\) posee algunas de las propiedades que hemos explorado anteriormente, por ejemplo, ¿cuándo es\(R/I\) un dominio? ¿Un campo? Primero, concluimos con dos exploraciones. El primero nos da una idea de cómo pueden verse estos anillos. El segundo conecta anillos de cociente a conjuntos de soluciones de ecuaciones polinómicas.

Exploración 4.3.2

Considera el anillo\(R=\mathbb{Z}_2[x]\) y los ideales\(I = \langle x^2-1\rangle\) y\(J = \langle x^3 -x -1\rangle\text{.}\)

1. Enumerar los elementos de\(R/I\) y\(R/J\text{.}\)
2. Qué pasa\(x^2\) en\(R\) cuando pasas al anillo del cociente\(R/I\text{?}\) ¿Qué\(x^3\) tal a medida que pasas de\(R\) a\(R/J\text{?}\)
3. En vista de tu respuesta a la pregunta anterior, ¿cómo\(x\) se comporta a medida que “mod out” por\(I\) y\(J\text{?}\)
4. Construir tablas de suma y multiplicación para cada uno de\(R/I\) y\(R/J\text{.}\)

Exploración 4.3.3

Una de las conexiones más útiles que se hacen en el álgebra de secundaria es la conexión entre una función\(f\) (en particular, una función polinómica) y su gráfica. Podemos extender esta noción a los ideales a través del concepto de un conjunto cero de la siguiente manera.

Dejar\(F\) ser un campo y\(R = F[x,y]\) con\(I\subseteq R\) un ideal distinto de cero. Definimos el conjunto cero de\(I\text{,}\) denotado\(Z(I)\text{,}\) como el conjunto de todos los puntos\((a,b)\in F^2\) para los cuales\(f(a,b)=0\) para todos\(f\in I\text{.}\)

1. Supongamos\(I = \langle f_1, f_2, \ldots, f_n\rangle\text{.}\) Probar que\((a,b)\in Z(I)\) si y solo si\(f_j(a,b) = 0\) para cada\(j\in \{1,\ldots, n\}\text{.}\) Así, se\(Z(I)\) puede determinar en su totalidad examinando los generadores de\(I\text{.}\)
2. Describir\(Z(I)\) dado\(I = \langle y-x^2\rangle \text{.}\)
3. (Desafío) Dado\(I = \langle y-x^2\rangle\) y\(J = \langle y-x-2\rangle\text{,}\) describir\(Z(I+J)\) y\(Z(I\cap J)\text{.}\)
4. Dado\(I=\langle y-x^2\rangle\text{,}\) describir la relación entre las variables\(x\) y\(y\) en el cociente\(R/I\text{.}\) De qué manera hemos restringido nuestras “entradas” polinómicas a la parábola\(y = x^2\text{?}\)

4.3.2 Ideales Primos y Máximos

En esta sección, continuamos nuestra exploración de los anillos de cocientes al observar más de cerca las propiedades de los ideales. Nos enfocamos en propiedades particulares de ideales que aseguran que el cociente\(R/I\) sea un dominio o un campo.

Definición: Prime

\(R\)Sea conmutativo con identidad y\(P\subsetneq R\) un ideal distinto de cero. Decimos que\(P\) es primo si cada vez que\(a,b\in R\) tal que\(ab\in P\text{,}\) tenemos\(a\in P\) o\(b\in P\text{.}\)

Teorema 4.3.5

Seamos\(R\) un dominio y\(p\in R\) seamos primos. Entonces\(\langle p\rangle\) es un ideal primordial.

Actividad 4.3.2

¿Cuáles de los siguientes ideales son los principales?

1. \(\langle 9\rangle\)en\(\mathbb{Z}\)
2. \(\langle 11\rangle\)en\(\mathbb{Z}\)
3. \(\langle x^2+1\rangle\)en\(\mathbb{R}[x]\)
4. \(\langle x^2-1\rangle\)en\(\mathbb{R}[x]\)
5. \(\langle x^2-5x+6, x^4+2x^3-10x^2+5x-2\rangle\)en\(\mathbb{R}[x]\)

Es esta condición precisa la que garantiza que el cociente resultante sea un dominio.

Teorema 4.3.6

Dejar\(R\) ser conmutativo con identidad y\(I\) un ideal de\(R\text{.}\) Entonces\(I\) es primo si y solo si\(R/I\) es un dominio integral.

Consideramos ahora otra clase importante de ideales: los ideales máximos.

Definición: Maximal Ideal

Seamos\(R\) conmutativos con identidad y dejemos\(M\subsetneq R\) ser un ideal distinto de cero. Decimos que\(M\) es un ideal máximo si ningún ideal adecuado de\(R\) adecuadamente contiene es\(M\text{.}\) decir, si\(J\) es un ideal satisfactorio\(M\subseteq J\subseteq R\text{,}\) ya sea\(J=M\) o\(J=R\text{.}\)

En otras palabras, un ideal\(M\ne R\) es máximo si ningún ideal “más grande” (con respecto a la inclusión) lo contiene adecuadamente. Como veremos más adelante, los anillos pueden tener muchos ideales máximos.

Es un hecho que cualquier anillo\(R\) con\(0_R\ne 1_R\) tiene un ideal máximo. Esto se desprende del Lema de Zorn; una exploración rigurosa del Lema de Zorn se encuentra fuera del alcance de este texto, pero basta con decir que el Lema de Zorn es increíblemente útil en todas las áreas del álgebra para probar teoremas de existencia. Por ejemplo, una prueba de que cada espacio vectorial tiene una base se basa en el Lema de Zorn.

Se dice que los anillos con un solo ideal máximo son anillos locales, y se estudian activamente en la investigación moderna en álgebra conmutativa (el estudio de los anillos conmutativos y sus propiedades).

Los siguientes dos resultados demuestran que la maximalidad de\(I\) es precisamente la condición que garantiza que\(R/I\) es un campo.

Lema 4.3.1

\(R\)Sea conmutativo con identidad y\(M\) un ideal máximo de\(R\text{.}\) Let\(x\in R\setminus M\text{,}\) y set\(J = \{xr+y: r\in R, \ y\in M\}\text{.}\) Entonces\(M\subsetneq J\text{,}\) y así existan\(r'\in R\text{,}\)\(y'\in M\) tal que\(1 = xr'+y'\text{.}\)

Teorema 4.3.7

Dejar\(R\) ser conmutativo con identidad y\(I\) un ideal de\(R\text{.}\) Entonces\(I\) es máximo si y sólo si\(R/I\) es un campo.

Pista

Para la dirección hacia delante, aplique el lema anterior para construir un inverso para\(x+I\) dado cualquier\(x\in R\setminus I\text{.}\)

Teorema 4.3.8

Todo ideal máximo es primo.

En general, lo contrario no es cierto (ver el Desafío a continuación). Sin embargo, se sostiene en anillos suficientemente bonitos.

Teorema 4.3.9

En un dominio ideal principal, cada ideal primo es máximo.

Exploración 4.3.4

Describir los ideales principales y máximos de\(\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Q}[x]\text{.}\)

Pista

¿Para qué ideales\(I\) es\(\mathbb{Z}/I\) un dominio? ¿Un campo? De manera similar para\(\mathbb{Q}[x]\text{.}\) Or, use Teorema 4.3.9 .

Desafío

Encuentra un anillo conmutativo con identidad,\(R\text{,}\) y un ideal primo no máximo\(P\) de\(R\text{.}\)

4.3.3 Homomorfismos y anillos de cocientes

Como los anillos de cociente proporcionan un suelo fértil para construir nuevos ejemplos de anillos, no debería sorprendernos encontrar que los homomorfismos interactúan con los anillos de cocientes de maneras interesantes y útiles. Entre ellos destacan los teoremas del isomorfismo. En esta subsección, nos centramos principalmente en el Teorema del Primer Isomorfismo.

Hemos visto que cualquier homomorfismo\(\varphi : R\to S\) da lugar a un ideal de\(R\text{,}\) saber\(\ker\varphi\text{.}\) Nuestro siguiente teorema demuestra que, dado un anillo conmutativo con identidad\(R\text{,}\) cada ideal es el núcleo de algún homomorfismo definido en\(R\text{.}\)

Teorema 4.3.10

Dejar\(R\) ser conmutativo con identidad y\(I\) un ideal de\(R\text{.}\) Definir\(\varphi: R\to R/I\) por\(\varphi(r) = r+I\text{.}\) Entonces\(\varphi\) es un homomorfismo con\(\ker\varphi = I\text{.}\)

En lo que sigue, trabajamos hacia una prueba del Teorema del Primer Isomorfismo para Anillos.

A lo largo de todo, dejar\(R\) y\(S\) ser anillos conmutativos con identidad, y dejar que\(\varphi : R\to S\) sea un homomorfismo. Recordemos que\(\text{im } \varphi = \{s\in S : \varphi(r) = s\text{ for some } r\in R\}\text{.}\)

Definir\(f: R/\ker \varphi \to \text{im } \varphi\) por\(f(r+\ker \varphi) = \varphi(r)\text{.}\)

Lema 4.3.2

Usando la notación de arriba,\(f\) es una función bien definida.

Lema 4.3.3

Usando la notación anterior,\(f\) es un homomorfismo.

Lema 4.3.4

Usando la notación anterior,\(f\) es uno a uno.

Lema 4.3.5

Usando la notación anterior,\(f\) es onto.

Así obtenemos:

Teorema 4.3.11 : Primer teorema del isomorfismo

Dejar\(\varphi : R\to S\) ser un homomorfismo de anillos conmutativos. Entonces\(R/\ker \varphi \cong \text{im } \varphi\text{.}\)

En particular, si\(\varphi : R\to S\) está en,\(R/\ker \varphi \cong S\text{.}\)

El Teorema del Primer Isomorfismo da una manera útil de establecer un isomorfismo entre un anillo cociente\(R/I\) y otro anillo\(S\text{:}\) encontrar un homomorfismo\(R\to S\) con kernel\(I\text{.}\)

Teorema 4.3.12

Tenemos los siguientes isomorfismos de anillos.

1. \(\displaystyle \mathbb{Z}/\langle m\rangle \cong \mathbb{Z}_m\)
2. \(\displaystyle \mathbb{Q}[x]/\langle x-5\rangle \cong \mathbb{Q}\)
3. \(\displaystyle \mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle \cong \mathbb{C}\)

Actividad 4.3.3

Dejar\(R = \mathbb{Z}_6\) y definir\(\varphi : \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_2\) por Es\(\varphi(\overline{x}) = \overline{x}\text{.}\) decir,\(\varphi\) envía una clase de equivalencia\(\overline{x}\in \mathbb{Z}_6\) representada por\(x\in \mathbb{Z}\) a la clase de equivalencia representada por\(x\) en\(\mathbb{Z}_2\text{.}\)

1. Mostrar que\(\varphi\) es una función bien definida.
2. Demostrar que\(\varphi\) es un homomorfismo.
3. ¿Está\(\varphi\) onto? Justificar.
4. Calcular\(\ker\varphi\) (es decir, enumerar los elementos en el conjunto). ¿Es\(\varphi\) uno a uno?
5. Sin apelar a la definición, ¿es\(\ker\varphi\) prime? ¿Máximo? Explique.