2.3: Grupos

Sin más preámbulos, aquí está nuestra definición oficial de grupo.

Definición: Grupo

Un grupo\((G,*)\) es un conjunto\(G\) junto con una operación binaria\(*\) tal que se mantienen los siguientes axiomas.

0. El conjunto\(G\) está cerrado bajo\(*\).
1. La operación\(*\) es asociativa.
2. Hay un elemento\(e\in G\) tal que para todos\(g\in G\),\(e*g=g*e=g\). Llamamos a\(e\) la identidad*.

*

El origen del uso de la letra\(e\) para la identidad de un grupo parece deberse al matemático alemán Heinrich Weber, quien usa “einheit” (alemán para “unidad” o “unidad”) y\(e\) en su Lehrbuch der Algebra (1896).

3. Correspondiente a cada uno\(g\in G\), hay un elemento\(g'\in G\) tal que\(g*g'=g'*g=e\). En este caso,\(g'\) se dice que es una inversa de\(g\).

El orden de\(G\), denotado\(|G|\), es la cardinalidad del conjunto\(G\). Si\(|G|\) es finito, entonces decimos que\(G\) tiene orden finito. De lo contrario, decimos que\(G\) tiene orden infinito.

En la definición de grupo, no\(*\) se requiere que la operación binaria sea conmutativa. Si\(*\) es conmutativo, entonces decimos que\(G\) es abeliano*. Algunos comentarios adicionales están en regla.

*

Los grupos conmutativos se llaman abelianos en honor del matemático noruego Niels Abel (1802—1829). ↩

• Axioma 2 obliga\(G\) a no estar vacío.
• Si\((G,*)\) es un grupo, entonces decimos que\(G\) es un grupo bajo\(*\).
• Nos referimos\(a*b\) como el producto de\(a\) e\(b\) incluso si no\(*\) es realmente multiplicación.
• Por simplicidad, si\((G,*)\) es un grupo, a menudo nos referiremos\(G\) como el grupo y suprimiremos cualquier mención de\(*\) lo que sea. En particular, a menudo abreviaremos\(a*b\) como\(ab\).
• En Teorema 2.3.3. , veremos que cada uno\(g\in G\) tiene un inverso único. A partir de ese momento, denotaremos la inversa de\(g\) by\(g^{-1}\).

Problema\(\PageIndex{1}\)

Explique por qué el Axioma 0 es innecesario.

Problema\(\PageIndex{2}\)

Verificar que cada uno de los siguientes sea un grupo bajo composición de acciones y determinar el orden. ¿Cuáles de los grupos son abelianos?

1. \(\text{Spin}_{3\times 3}\)
2. \(R_4\)(ver Problema 2.2.4)
3. \(D_3\)(ver Problema 2.2.5)
4. \(D_4\)(ver Problema 2.2.6)
5. \(S_3\)(ver Problema 2.2.7)

Problema\(\PageIndex{3}\)

Determinar si cada uno de los siguientes es un grupo. Si el par es un grupo, determine el orden, identifique la identidad, describa las inversas y determine si el grupo es abeliano. Si el par no es un grupo, explique por qué.

1. \((\mathbb{Z},+)\)
2. \((\mathbb{N},+)\)
3. \((\mathbb{Z},\cdot)\)
4. \((\mathbb{Z},\div)\)
5. \((\mathbb{R},+)\)
6. \((\mathbb{R},\cdot)\)
7. \((\mathbb{Q}\setminus \{0\},\cdot)\)
8. \((M_{2\times 2}(\mathbb{R}),+)\)Nota:\(M_{2\times 2}(\mathbb{R})\) es el conjunto de\(2\times 2\) matrices.
9. \((M_{2\times 2}(\mathbb{R}),*)\), donde\(*\) está la multiplicación matricial.
10. \(([0,1],*)\), donde\(a*b:=\min(a,b)\)
11. \((\{a,b,c\},*)\), donde\(*\) está la operación determinada por la tabla del Ejemplo 2.2.2.
12. \((\{x,y,z\},*)\), donde\(*\) es la operación determinada por la tabla en Problema 2.2.13.

Observe que en Axioma 2 de Definición: Grupo, dijimos la identidad y no una identidad. Implícitamente, esto implica que la identidad es única.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Unique Identity

Si\(G\) es un grupo, entonces hay un elemento de identidad único en\(G\). Es decir, sólo hay un elemento\(e\in G\) tal que\(ge=eg=g\) para todos\(g\in G\).

Problema\(\PageIndex{4}\)

Proporcione un ejemplo de un grupo de orden 1. ¿Puedes encontrar más de uno de esos grupos?

Cualquier grupo de orden 1 se llama grupo trivial. De la definición de grupo se desprende inmediatamente que el elemento de un grupo trivial debe ser la identidad.

Es importante señalar que si tenemos una ecuación que involucra el producto de elementos grupales, todavía podemos “hacer lo mismo a ambas partes” y mantener la igualdad. No obstante, debido a que los grupos generales no son necesariamente abelianos, tenemos que tener cuidado de que realmente operemos de la misma manera en cada lado. Por ejemplo, si tenemos la ecuación\(g = h\) en algún grupo, entonces también tenemos\(ag = ah\), donde “multiplicamos” ambos lados a la izquierda por el elemento group\(a\). No necesariamente podríamos concluir eso\(ag = ha\), a menos que un par de los elementos se conmuten entre sí.

El siguiente teorema es crucial para probar muchos teoremas sobre grupos.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Cancellation Law

Seamos\(G\) un grupo y vamos\(g,x,y\in G\). Entonces\(gx=gy\) si y sólo si\(x=y\). Del mismo modo,\(xg=yg\) si y solo si\(x=y\)*.

*

Sólo hay que acreditar una de estas declaraciones ya que la prueba de la otra es similar. ↩

Problema\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que\((\mathbb{R},\cdot)\) falla la Ley de Cancelación confirmando el hecho de que no es un grupo.

Recordemos que Axioma (3) de Definición: Grupo establece que cada elemento de un grupo tiene al menos una inversa. El siguiente teorema nos dice que cada elemento tiene exactamente una inversa.

Teorema\(\PageIndex{3}\): Unique Inverse

Si\(G\) es un grupo, entonces cada uno\(g\in G\) tiene un inverso único.

A la luz del teorema anterior, el inverso único de se\(g\in G\) denotará como\(g^{-1}\). En grupos, resulta que los inversos son siempre “de dos lados”. Es decir, si\(G\) es un grupo y\(g,h\in G\) tal que\(gh=e\), entonces debe ser el caso que\(hg=e\), también. En este caso,\(g^{-1}=h\) y\(h^{-1}=g\). Sin embargo, existen estructuras matemáticas donde existe un “inverso izquierdo” pero el “inverso derecho” no.

Teorema\(\PageIndex{4}\): Unique Solution

Si\(G\) es un grupo, entonces para todos\(g,h\in G\), las ecuaciones\(gx=h\) y\(yg=h\) tienen soluciones únicas para\(x\) y\(y\) en\(G\).

El siguiente teorema no debería sorprender.

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Si\(G\) es un grupo, entonces\((g^{-1})^{-1}=g\) para todos\(g\in G\).

El siguiente teorema es análogo al “teorema de calcetines y zapatos” para la composición de funciones.

Teorema\(\PageIndex{6}\)

Si\(G\) es un grupo, entonces\((gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}\) para todos\(g,h\in G\).

Definición: Exponentes

Si\(G\) es un grupo y\(g\in G\), entonces para todos\(n\in \mathbb{N}\), definimos:

1. \(g^n=\underbrace{gg\cdots g}_{n\text{ factors}}\)
2. \(g^{-n}=\underbrace{g^{-1}g^{-1}\cdots g^{-1}}_{n\text{ factors}}\)
3. \(g^0=e\)

Comentario\(\PageIndex{1}\)

Si\(G\) es un grupo bajo\(+\), entonces podemos reinterpretar Definición: Exponentes como:

1. \(ng=\underbrace{g+g+\cdots +g}_{n\text{ summands}}\)
2. \(-ng=\underbrace{-g+-g+\cdots +-g}_{n\text{ summands}}\)
3. \(0g=0\)

Observe que todo lo que hemos hecho es tomar las declaraciones de Definición: Exponentes, que utilizan notación multiplicativa para la operación de grupo, y tradujeron lo que dicen en el caso de que la operación de grupo utilice notación aditiva.

La buena noticia es que las muchas de las reglas de exponentes con las que estás familiarizado aún se mantienen para los grupos.

Teorema\(\PageIndex{7}\): Exponents

Si\(G\) es un grupo y\(g\in G\), entonces para todos\(n,m\in\mathbb{Z}\), tenemos lo siguiente:

1. \(g^ng^m=g^{n+m}\),
2. \((g^n)^{-1}=g^{-n}\),
3. \((g^n)^{m}=g^{nm}\).

Problema\(\PageIndex{6}\)

Reinterpretar Teorema\(\PageIndex{7}\) si\(G\) es un grupo en adición.

Desafortunadamente, existen algunas reglas de exponentes que no aplican para los grupos generales.

Problema\(\PageIndex{7}\)

Mostrar con un ejemplo específico que para un grupo\(G\) podemos tener\((ab)^2\neq a^2b^2\). ¿Qué propiedad garantizaría eso\((ab)^2=a^2b^2\) para todos\(a,b\in G\)? ¿Es cierto lo contrario de su reclamo?