2.2: Operación binaria
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Antes de comenzar nuestro estudio formal de grupos, necesitamos tener una comprensión de las operaciones binarias. Después de aprender a contar cuando era niño, probablemente aprendiste a sumar, restar, multiplicar y dividir con números reales. Siempre y cuando evitemos la división por cero, estas operaciones son ejemplos de operaciones binarias ya que estamos combinando dos objetos para obtener un solo objeto. De manera más formal, tenemos la siguiente definición.
Una operación binaria\(*\) en un conjunto\(A\) es una función de\(A\times A\) a\(A\). Para cada uno\((a,b)\in A\times A\), denotamos el elemento\(*(a,b)\) vía\(a*b\). Si el contexto es claro, podemos abreviar\(a*b\) como\(ab\).
No malinterpreten el uso de\(*\) en este contexto. No estamos insinuando que\(*\) es la multiplicación ordinaria de números reales con la que está familiarizado. Usamos\(*\) para representar una operación binaria genérica.
Observe que dado que el codominio de una operación binaria en un conjunto\(A\) es\(A\), las operaciones binarias requieren que cedamos un elemento de\(A\) al combinar dos elementos de\(A\). En este caso, decimos que\(A\) se cierra bajo\(*\). Las operaciones binarias tienen esta propiedad de cierre por definición. Además, dado que las operaciones binarias son funciones, cualquier intento de combinar dos elementos de\(A\) debería dar como resultado un elemento único de\(A\). Además, dado que el dominio de\(*\) es\(A\times A\), debe ser el caso que\(*\) se defina para todos los pares de elementos de\(A\).
Aquí hay algunos ejemplos de operaciones binarias.
- Las operaciones de\(+\) (suma),\(-\) (resta) y\(\cdot\) (multiplicación) son operaciones binarias sobre los números reales. Las tres son también operaciones binarias en los enteros. Sin embargo, mientras\(+\) y\(\cdot\) son ambas operaciones binarias en el conjunto de números naturales, no\(-\) es una operación binaria sobre los números naturales ya que\(1-2=-1\), que no es un número natural.
- La operación de\(\div\) (división) no es una operación binaria sobre el conjunto de números reales porque todos los elementos de la forma no\((a,0)\) están en el dominio\(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\) ya que no podemos dividir por 0. Sin embargo,\(\div\) es una operación binaria adecuada en\(\mathbb{R}\setminus \{0\}\).
- Dejar\(A\) ser un conjunto no vacío y dejar\(F\) ser el conjunto de funciones de\(A\) a\(A\). Entonces\(\circ\) (composición de función) es una operación binaria en\(F\). Utilizamos este hecho al explorar el juego Spinpossible.
- Dejar\(M_{2\times 2}(\mathbb{R})\) ser el conjunto de\(2\times 2\) matrices con entradas de número real. Entonces la multiplicación matricial es una operación binaria encendida\(M_{2\times 2}(\mathbb{R})\).
Dejar\(M(\mathbb{R})\) ser el conjunto de matrices (de cualquier tamaño) con entradas de número real. ¿La adición de matriz es una operación binaria encendida\(M(\mathbb{R})\)? ¿Qué tal la multiplicación matricial? ¿Y si restringes a matrices cuadradas de un tamaño fijo\(n\times n\)?
\(A\)Déjese ser un conjunto. Determinar si\(\cup\) (unión) e\(\cap\) (intersección) son operaciones binarias en\(\mathcal{P}(A)\) (es decir, el conjunto de potencia de\(A\)).
Considere el intervalo cerrado\([0,1]\) y defina\(*\) on\([0,1]\) via\(a*b=\min(a,b)\) (es decir, tomar el mínimo de\(a\) y\(b\)). Determinar si\(*\) es una operación binaria encendida\([0,1]\).
Considera una pieza cuadrada del rompecabezas que encaja perfectamente en un agujero cuadrado. Dejar\(R_4\) ser el conjunto de acciones netas que consiste en las rotaciones del cuadrado por una cantidad apropiada para que encaje de nuevo en el agujero. Supongamos que podemos distinguir las esquinas del cuadrado separadas entre sí para que si el cuadrado ha sido girado y puesto de nuevo en el agujero podamos notar la diferencia. Cada acción neta se llama simetría del cuadrado.
- Describir todas las simetrías distintas en\(R_4\). ¿En cuántas simetrías distintas hay\(R_4\)?
- ¿La composición de las simetrías es una operación binaria\(R_4\)?
Hagamos una pausa por un momento para asegurarnos de que entendemos nuestro uso de la palabra simetría en este contexto. Una pregunta fundamental en matemáticas es “¿Cuándo dos cosas son iguales?” , donde las “cosas” pueden ser cualquier noción matemática en la que estemos pensando en un momento determinado. Ahora mismo tenemos que responder: “¿Cuándo queremos considerar que dos simetrías son iguales?” Para ser claros, esta es una elección, y diferentes elecciones pueden conducir a matemáticas diferentes, interesantes e igualmente válidas. Para las simetrías, un pensamiento natural es que las simetrías son iguales cuando producen la misma acción neta sobre el cuadrado, es decir, que cuando se aplican a un cuadrado en una posición inicial particular, ambas producen la misma posición final. En general, dos simetrías son iguales si producen la misma acción neta sobre el objeto en cuestión.
El conjunto\(R_4\) se llama grupo de rotación para el cuadrado. For\(n\geq 3\),\(R_n\) es el grupo de rotación para el\(n\) -gon regular y consiste en las simetrías rotacionales para un\(n\) -gon regular. Como veremos más adelante, cada\(R_n\) realmente es un grupo bajo composición de simetrías.
Considera una pieza de rompecabezas como la del problema anterior, excepto esta vez, supongamos que la pieza y el agujero son un triángulo equilátero. Deja\(D_3\) ser el conjunto completo de simetrías que permiten que el triángulo vuelva a encajar en el agujero. Además de las rotaciones, también permitiremos que el triángulo sea volteado, llamado reflejo.
- Describir todas las simetrías distintas en\(D_3\). ¿En cuántas simetrías distintas hay\(D_3\)?
- ¿La composición de las simetrías es una operación binaria\(D_3\)?
Repite el problema anterior, pero hazlo por un cuadrado en lugar de un triángulo. Se llama al conjunto correspondiente\(D_4\).
Los conjuntos\(D_3\) y\(D_4\) son ejemplos de grupos diedros. En general, for\(n\geq 3\),\(D_n\) consiste en las simetrías (rotaciones y reflexiones) de un\(n\) -gon regular y se llama el grupo diedro de orden\(2n\). En este caso, la palabra “orden” simplemente significa el número de simetrías en el conjunto. ¿Ves por qué\(D_n\) consiste en\(2n\) acciones? Como era de esperar, vamos a demostrar que cada\(D_n\) realmente es un grupo.
Considera el conjunto que\(S_3\) consiste en las acciones netas que permutan las posiciones de tres monedas (sin voltearlas) que están sentadas lado a lado en una línea. Supongamos que puedes distinguir las monedas.
- Anote todas las acciones netas distintas en el\(S_3\) uso de descripciones verbales. Algunas de estas serán complicadas de describir. ¿Cuántas acciones netas distintas hay en\(S_3\)?
- ¿Es la composición de las acciones netas una operación binaria\(S_3\)?
El conjunto\(S_3\) es un ejemplo de un grupo simétrico. En general,\(S_n\) es el grupo simétrico sobre \(n\)los objetos y consiste en las acciones netas que reordenan los\(n\) objetos. Tales reordenamientos se llaman permutaciones. Posteriormente probaremos que cada uno\(S_n\) es un grupo bajo composición de permutaciones.
Explique por qué la composición de los giros no es una operación binaria en el conjunto de giros en\(\text{Spin}_{3\times 3}\).
Algunas operaciones binarias tienen propiedades adicionales.
Dejar\(A\) ser un conjunto no vacío y dejar\(*\) ser una operación binaria en\(A\).
- Decimos que\(*\) es asociativo si y sólo si es\((a*b)*c=a*(b*c)\) por todos\(a,b,c\in A\).
- Decimos que\(*\) es conmutativo si y sólo si es\(a*b=b*a\) por todos\(a,b\in A\).
Proporcione un ejemplo de cada uno de los siguientes.
- Una operación binaria en un conjunto que es conmutativo.
- Una operación binaria en un conjunto que no es conmutativo.
Proporcionar un ejemplo de un conjunto\(A\) y una operación binaria\(*\) en\(A\) tal que\((a*b)^2\neq a^2*b^2\) para algunos\(a,b\in A\). ¿Bajo qué condiciones serán\((a*b)^2= a^2*b^2\) para todos\(a,b\in A\)? Nota: La notación\(x^2\) es taquigrafía de\(x*x\).
Definir la operación binaria\(*\) en\(\mathbb{R}\) via\(a*b=1+ab\). En este caso,\(ab\) denota la multiplicación de los números reales\(a\) y\(b\). Determinar si\(*\) es asociativo encendido\(\mathbb{R}\).
[thm:function_comp_associative] Si\(A\) es un conjunto no vacío y\(F\) es el conjunto de funciones de\(A\) a\(A\), entonces la composición de la función es una operación binaria asociativa en\(F\).
Cuando el conjunto\(A\) es finito, podemos representar una operación binaria sobre el\(A\) uso de una tabla en la que los elementos del conjunto se listan en la parte superior y abajo del lado izquierdo (en el mismo orden). La entrada en la\(i\) fila y la columna\(j\) th de la tabla representa la salida de combinar el elemento que etiqueta la fila\(i\) th con el elemento que etiqueta la\(j\) ésima columna (el orden importa).
Considera la siguiente tabla.
\ (\ begin {array} {c|c|c|c}
* & a & b & c\
\ hline a & b & b & b\
\ hline b & a & c & b\
\ hline c & c & b & a
\ end {array}\)
Esta tabla representa una operación binaria en el conjunto\(A=\{a,b,c\}\). En este caso,\(a*b=c\) mientras\(b*a=a\). Esto demuestra que no\(*\) es conmutativo.
Considere la siguiente tabla que muestra la operación binaria\(*\) en el conjunto\(\{x,y,z\}\).
\ (\ begin {array} {c|c|c|c}
* & x & y & z\
\ hline x & x & y & z\
\ hline y & y & y & x & x\
\ hline z & y y & x & x
\ end {matriz}\)
- Determinar si\(*\) es conmutativo.
- Determinar si\(*\) es asociativo.
¿Qué propiedad debe tener la tabla para una operación binaria para que la operación sea conmutativa?