2.4: Grupos Generadores
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En esta sección, exploramos el concepto de un grupo generador para un grupo.
Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(S\) ser un subconjunto de\(G\). Un producto finito (bajo la operación de\(G\)) que consiste en elementos de\(S\) o sus inversos se llama una palabra en\(S\). Es decir, una palabra in\(S\) es de la forma\[s_{x_1}s_{x_2}\cdots s_{x_n},\] donde cada uno\(s_{x_i}\) es o bien un elemento de\(S\) o la inversa de un elemento de\(S\). Cada uno\(s_{x_i}\) se llama letra y el conjunto\(S\) se llama alfabeto. Por convención, la identidad de\(G\) puede ser representada por la palabra vacía, que es la palabra que no tiene letras. El conjunto de elementos de\(G\) que se pueden escribir como palabras en\(S\) se denota por\(\langle S\rangle\) y se llama el grupo generado por\(S\).
Es importante prestar mucha atención a nuestra notación. Si bien\(S\) y\(\langle S\rangle\) son ambos conjuntos, este último conjunto es el conjunto de elementos que podemos construir usando letras y sus inversos a partir de\(S\). Resulta que si\(S\) es en sí mismo un grupo, entonces\(S=\langle S\rangle\). De lo contrario,\(S\) es un subconjunto apropiado de\(\langle S\rangle\).
Supongamos que\(G\) es un grupo tal que\(a,b,c\in G\) y vamos\(S=\{a,b,c\}\). Entonces\(ab\),\(c^{-1}acc\), y\(ab^{-1}caa^{-1}bc^{-1}\) son palabras en\(\langle S\rangle\). Si alguna de estas palabras no es igual a\(a\),\(b\), o\(c\), entonces\(\langle S\rangle\) es estrictamente mayor que\(S\).
Vale la pena mencionar que aquí estamos abusando ligeramente de la notación. Para los no vacíos\(S\subseteq G\), podemos formar infinitamente muchas palabras en\(\langle S\rangle\), pero a menudo hay muchas palabras que representan el mismo elemento de grupo. Podemos particionar la colección de palabras en el alfabeto\(S\) en clases de equivalencia en función de qué elemento de grupo representa una palabra. Estrictamente hablando, cada elemento de grupo es una clase de equivalencia de palabras. Cuando decimos que dos palabras son iguales en el grupo, lo que realmente queremos decir es que ambas palabras están en la misma clase de equivalencia.
Si\(G\) es un grupo bajo\(*\) y\(S\) es un subconjunto de\(G\), entonces también\(\langle S\rangle\) es un grupo bajo\(*\).
Si\(G\) es un grupo y\(S\) es un subconjunto de\(G\) tal que\(G=\langle S\rangle\), entonces\(S\) se llama un conjunto generador de\(G\). En otras palabras,\(S\) es un conjunto generador de\(G\) si cada elemento de\(G\) puede expresarse como una palabra en\(S\). En este caso, decimos\(S\) genera\(G\). Un grupo generador\(S\) para\(G\) es un conjunto generador mínimo si ya no\(S\setminus\{x\}\) es un conjunto generador\(G\) para todos\(x\in S\).
Un conjunto generador para un grupo es análogo a un conjunto de expansión para un espacio vectorial y un conjunto generador mínimo para un grupo es análogo a una base para un espacio vectorial.
Si sabemos cuáles son\(S\) realmente los elementos de, entonces los enumeraremos dentro de los corchetes angulares sin las llaves establecidas. Por ejemplo, si\(S=\{a,b,c\}\), entonces vamos a escribir\(\langle a, b, c\rangle\) en lugar de\(\langle \{a,b,c\}\rangle\). En el caso especial cuando el conjunto generador\(S\) consiste en un solo elemento, digamos\(g\), tenemos\[G=\langle g\rangle =\{g^k\mid k\in\mathbb{Z}\}\] y decimos que\(G\) es un grupo cíclico. Como veremos,\(\langle g\rangle\) puede ser finito o infinito.
En la Sección 2.1, descubrimos que el conjunto de giros es un conjunto generador no mínimo,\(\text{Spin}_{3\times 3}\) mientras que el conjunto\(T=\{s_{11}, s_{12}, s_{23}, s_{36}, s_{56}, s_{45}, s_{47}, s_{78}, s_{89}\}\) es un conjunto generador mínimo.
Consideremos el grupo de rotación\(R_4\) que introdujimos en Problema 2.2.4. Dejar\(r\) ser el elemento de\(R_4\) que gira el cuadrado por el sentido de\(90^\circ\) las agujas del reloj.
- Describir la acción de\(r^{-1}\) en la plaza y expresar\(r^{-1}\) como una palabra usando\(r\) solamente.
- Demostrar que\(R_4=\langle r\rangle\) escribiendo cada elemento de\(R_4\) como una palabra usando\(r\) solamente.
- ¿Es\(\{r\}\) un grupo generador mínimo para\(R_4\)?
- ¿Es\(R_4\) un grupo cíclico?
Consideremos el grupo diedro\(D_3\) introducido en el Problema 2.2.5. Para darnos un punto de partida común, supongamos que el triángulo y el agujero están posicionados de manera que una de las puntas del triángulo sea apuntada hacia arriba. Dejar\(r\) ser la rotación por\(120^\circ\) en el sentido de las agujas del reloj y dejar\(s\) ser el reflejo en\(D_3\) que fija la parte superior del triángulo.
- Describir la acción de\(r^{-1}\) sobre el triángulo y expresar\(r^{-1}\) como una palabra usando\(r\) solamente.
- Describir la acción de\(s^{-1}\) sobre el triángulo y expresar\(s^{-1}\) como una palabra usando\(s\) solamente.
- Demostrar que\(D_3=\langle r,s\rangle\) escribiendo cada elemento de\(D_3\) como una palabra en\(r\) o\(s\).
- ¿Es\(\{r,s\}\) un grupo generador mínimo para\(D_3\)?
- Explique por qué no hay un solo conjunto generador para\(D_3\) constar de un solo elemento. Esto demuestra que no\(D_3\) es cíclico.
Es importante señalar que el hecho de que\(\{r,s\}\) sea un conjunto generador mínimo para\(D_3\) no implica que no\(D_3\) sea un grupo cíclico. Hay ejemplos de grupos cíclicos que tienen grupos generadores mínimos consistentes en más de un elemento (ver Problema 2.6.4).
Consideremos de\(D_3\) nuevo al grupo. Deja\(s\) ser la misma reflexión que en Problema\(\PageIndex{2}\) y deja\(s'\) ser el reflejo en\(D_3\) que fija la esquina inferior derecha del triángulo.
- Expresar\(r\) como una palabra en\(s\) y\(s'\).
- Use la parte (a) junto con Problema\(\PageIndex{2}\) para probarlo\(\langle s,s'\rangle=D_3\).
Consideremos el grupo diedro\(D_4\) introducido en el Problema 2.2.6. Dejar\(r\) girar en sentido horario\(90^\circ\) y dejar que\(s\) sea el reflejo sobre la línea media vertical del cuadrado.
- Describir la acción de\(r^{-1}\) en la plaza y expresar\(r^{-1}\) como una palabra usando\(r\) solamente.
- Describir la acción de\(s^{-1}\) en la plaza y expresar\(s^{-1}\) como una palabra usando\(s\) solamente.
- Demostrar que\(\{r,s\}\) está generando conjunto para\(D_4\).
- ¿Es\(\{r,s\}\) un grupo generador mínimo para\(D_4\)?
- Encuentra un grupo generador diferente para\(D_4\).
- ¿Es\(D_4\) un grupo cíclico?
Consideremos el grupo simétrico\(S_3\) que se introdujo en el Problema 2.2.7. \(s_1\)Sea la acción que intercambie las posiciones de la primera y segunda monedas y deje\(s_2\) ser la acción que intercambie las posiciones de la segunda y tercera monedas. \(S_3=\langle s_1, s_2\rangle\)Demuéstralo.
Encuentre un conjunto generador mínimo para\((\mathbb{Z},+)\). ¿\(\mathbb{Z}\)Se suma un grupo cíclico?