4.2: Grupos Diedros
- Page ID
- 117743
Podemos pensar en los grupos cíclicos finitos como grupos que describen la simetría rotacional. En particular,\(R_n\) es el grupo de simetrías rotacionales de un\(n\) -gon regular. Los grupos diedros son aquellos grupos que describen tanto la simetría rotacional como la refleccional de\(n\) los gones regulares.
Para\(n\geq 3\), el grupo diedro\(D_n\) se define como el grupo que consiste en las acciones de simetría de un\(n\) -gon regular, donde la operación es composición de acciones.
Por ejemplo, como hemos visto,\(D_3\) y\(D_4\) son los grupos de simetría de triángulos equiláteros y cuadrados, respectivamente. El grupo de simetría de un pentágono regular se denota por\(D_5\). Es un hecho bien conocido por la geometría que la composición de dos reflexiones en el plano es una rotación por el doble del ángulo entre las líneas reflectantes.
El grupo\(D_n\) es un grupo no abeliano de orden\(2n\).
Arreglar\(n\geq 3\) y considerar\(D_n\). Dejar\(r\) ser rotación en sentido horario por\(360^{\circ}/n\)\(s\) y dejar y\(s'\) ser cualesquiera dos reflejos adyacentes de un\(n\) -gon regular. Entonces
- \(D_n=\langle r,s\rangle =\{\underbrace{e,r,r^2,\ldots, r^{n-1}}_{\text{rotations}},\underbrace{s,sr,sr^2,\ldots,sr^{n-1}}_{\text{reflections}}\}\)y
- \(D_n=\langle s,s'\rangle = \text{all possible products of }s\text{ and }s'\).
El siguiente resultado es un corolario obvio del Teorema\(\PageIndex{2}\).
Para\(n\geq 3\),\(R_n\leq D_n\).
El siguiente teorema generaliza muchas de las relaciones que hemos presenciado en los diagramas de Cayley para los grupos diedros\(D_3\) y\(D_4\).
Arreglar\(n\geq 3\) y considerar\(D_n\). Dejar\(r\) ser rotación en sentido horario por\(360^{\circ}/n\)\(s\) y dejar y\(s'\) ser cualesquiera dos reflejos adyacentes de un\(n\) -gon regular. Entonces se mantienen las siguientes relaciones.
- \(r^n = s^2 = (s')^2 =e\),
- \(r^{-k} = r^{n-k}\)(caso especial:\(r^{-1}=r^{n-1}\)),
- \(sr^k=r^{n-k}s\)(caso especial:\(sr=r^{n-1}s\)),
- \(\underbrace{ss's\cdots}_{n\text{ factors}}=\underbrace{s'ss'\cdots}_{n\text{ factors}}\).
Del teorema\(\PageIndex{2}\), sabemos\[D_n=\langle r,s\rangle =\{\underbrace{e,r,r^2,\ldots, r^{n-1}}_{\text{rotations}},\underbrace{s,sr,sr^2,\ldots,sr^{n-1}}_{\text{reflections}}\}.\] Si tuvieras que crear la tabla de grupo para para\(D_n\) que las filas y columnas de la tabla fueran etiquetadas por\(e,r,r^2,\ldots, r^{n-1},s,sr,sr^2,\ldots,sr^{n-1}\) (exactamente en ese orden), ¿surge algún patrón? ¿Dónde están las rotaciones? ¿Dónde están las reflexiones?
¿Qué\(D_n\) aspecto tiene el diagrama de Cayley si usamos\(\{r,s\}\) como grupo generador? ¿Y si usamos\(\{s,s'\}\) como grupo generador?