4.2: Grupos Diedros
- Page ID
- 117743
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Podemos pensar en los grupos cíclicos finitos como grupos que describen la simetría rotacional. En particular,\(R_n\) es el grupo de simetrías rotacionales de un\(n\) -gon regular. Los grupos diedros son aquellos grupos que describen tanto la simetría rotacional como la refleccional de\(n\) los gones regulares.
Para\(n\geq 3\), el grupo diedro\(D_n\) se define como el grupo que consiste en las acciones de simetría de un\(n\) -gon regular, donde la operación es composición de acciones.
Por ejemplo, como hemos visto,\(D_3\) y\(D_4\) son los grupos de simetría de triángulos equiláteros y cuadrados, respectivamente. El grupo de simetría de un pentágono regular se denota por\(D_5\). Es un hecho bien conocido por la geometría que la composición de dos reflexiones en el plano es una rotación por el doble del ángulo entre las líneas reflectantes.
El grupo\(D_n\) es un grupo no abeliano de orden\(2n\).
Arreglar\(n\geq 3\) y considerar\(D_n\). Dejar\(r\) ser rotación en sentido horario por\(360^{\circ}/n\)\(s\) y dejar y\(s'\) ser cualesquiera dos reflejos adyacentes de un\(n\) -gon regular. Entonces
- \(D_n=\langle r,s\rangle =\{\underbrace{e,r,r^2,\ldots, r^{n-1}}_{\text{rotations}},\underbrace{s,sr,sr^2,\ldots,sr^{n-1}}_{\text{reflections}}\}\)y
- \(D_n=\langle s,s'\rangle = \text{all possible products of }s\text{ and }s'\).
El siguiente resultado es un corolario obvio del Teorema\(\PageIndex{2}\).
Para\(n\geq 3\),\(R_n\leq D_n\).
El siguiente teorema generaliza muchas de las relaciones que hemos presenciado en los diagramas de Cayley para los grupos diedros\(D_3\) y\(D_4\).
Arreglar\(n\geq 3\) y considerar\(D_n\). Dejar\(r\) ser rotación en sentido horario por\(360^{\circ}/n\)\(s\) y dejar y\(s'\) ser cualesquiera dos reflejos adyacentes de un\(n\) -gon regular. Entonces se mantienen las siguientes relaciones.
- \(r^n = s^2 = (s')^2 =e\),
- \(r^{-k} = r^{n-k}\)(caso especial:\(r^{-1}=r^{n-1}\)),
- \(sr^k=r^{n-k}s\)(caso especial:\(sr=r^{n-1}s\)),
- \(\underbrace{ss's\cdots}_{n\text{ factors}}=\underbrace{s'ss'\cdots}_{n\text{ factors}}\).
Del teorema\(\PageIndex{2}\), sabemos\[D_n=\langle r,s\rangle =\{\underbrace{e,r,r^2,\ldots, r^{n-1}}_{\text{rotations}},\underbrace{s,sr,sr^2,\ldots,sr^{n-1}}_{\text{reflections}}\}.\] Si tuvieras que crear la tabla de grupo para para\(D_n\) que las filas y columnas de la tabla fueran etiquetadas por\(e,r,r^2,\ldots, r^{n-1},s,sr,sr^2,\ldots,sr^{n-1}\) (exactamente en ese orden), ¿surge algún patrón? ¿Dónde están las rotaciones? ¿Dónde están las reflexiones?
¿Qué\(D_n\) aspecto tiene el diagrama de Cayley si usamos\(\{r,s\}\) como grupo generador? ¿Y si usamos\(\{s,s'\}\) como grupo generador?