3.6: El Teorema de la Matriz Invertible
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- Teorema: el teorema de la matriz invertible.
Esta sección consiste en un único teorema importante que contiene muchas condiciones equivalentes para que una matriz sea invertible. Este es uno de los teoremas más importantes de este libro de texto. Vamos a anexar dos criterios más en la Sección 5.1.
Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz, y dejar que\(T\colon\mathbb{R}^n \to\mathbb{R}^n \) sea la transformación matricial\(T(x) = Ax\). Las siguientes declaraciones son equivalentes:
- \(A\)es invertible.
- \(A\)tiene\(n\) pivotes.
- \(\text{Nul}(A) = \{0\}\).
- Las columnas de\(A\) son linealmente independientes.
- Las columnas de\(A\) span\(\mathbb{R}^n \).
- \(Ax=b\)tiene una solución única para cada uno\(b\) en\(\mathbb{R}^n \).
- \(T\)es invertible.
- \(T\)es uno a uno.
- \(T\)está en.
- Prueba
-
\((1\iff 2)\text{:}\)La matriz\(A\) tiene\(n\) pivotes si y solo si su forma de escalón de fila reducida es la matriz de identidad\(I_n\). Esto sucede exactamente cuando el procedimiento en la Sección 3.5, Teorema 3.5.1, para calcular la inversa tiene éxito.
\((2\iff 3)\text{:}\)El espacio nulo de una matriz es\(\{0\}\) si y solo si la matriz no tiene variables libres, lo que significa que cada columna es una columna pivotante, lo que significa que\(A\) tiene\(n\) pivotes. Consulte la receta: calcular un conjunto de expansión para un espacio nulo en la sección 2.6.
\((2\iff 4,\,2\iff 5)\text{:}\)Estos se desprenden de la Receta: Comprobando la Independencia Lineal en la Sección 2.5 y Teorema 2.3.1, en la Sección 2.3, respectivamente, ya que\(A\) tiene\(n\) pivotes si y solo si tiene un pivote en cada fila/columna.
\((4+5\iff 6)\text{:}\)Sabemos que\(Ax=b\) tiene al menos una solución para cada\(b\) si y solo si las columnas de\(A\) span\(\mathbb{R}^n \) por Teorema 3.2.2 en la Sección 3.2, y\(Ax=b\) tiene como máximo una solución para cada\(b\) si y solo si las columnas de\(A\) son linealmente independiente por el Teorema 3.2.1 en la Sección 3.2. De ahí que\(Ax=b\) tenga exactamente una solución para cada\(b\) si y sólo si sus columnas son linealmente independientes y abarcan\(\mathbb{R}^n \).
\((1\iff 7)\text{:}\)Este es el contenido del Teorema 3.5.3 en la Sección 3.5.
\((7\implies 8+9)\text{:}\)Véase la Proposición 3.5.2 en la Sección 3.5.
\((8\iff 4,\,9\iff 5)\text{:}\)Ver Teorema 3.2.2 en la Sección 3.2 y Teorema 3.2.1 en la Sección 3.2.
Para reiterar, el teorema de la matriz invertible significa:
Hay dos tipos de matrices cuadradas:
- matrices invertibles, y
- matrices no invertibles.
Para las matrices invertibles, todas las afirmaciones del teorema de la matriz invertible son verdaderas.
Para las matrices no invertibles, todas las declaraciones del teorema de la matriz invertible son falsas.
El lector debe sentirse cómodo traduciendo cualquiera de los enunciados del teorema de la matriz invertible en una declaración sobre los pivotes de una matriz.
Las siguientes condiciones también son equivalentes a la invertibilidad de una matriz cuadrada\(A\). Todas son simples reexpresiones de condiciones en el teorema de la matriz invertible.
- La forma de escalón de fila reducida de\(A\) es la matriz de identidad\(I_n\).
- \(Ax=0\)no tiene otras soluciones que la trivial.
- \(\text{nullity}(A) = 0\).
- Las columnas de\(A\) forman una base para\(\mathbb{R}^n \).
- \(Ax=b\)es consistente para todos\(b\) en\(\mathbb{R}^n \).
- \(\text{Col}(A) = \mathbb{R}^n .\)
- \(\dim\text{Col}(A) = n.\)
- \(\text{rank}(A) = n.\)
Ahora podemos demostrar que para comprobar\(B = A^{-1}\text{,}\) es suficiente para mostrar\(AB=I_n\) o\(BA=I_n\).
\(A\)Sea una\(n\times n\) matriz, y supongamos que existe una\(n\times n\) matriz\(B\) tal que\(AB=I_n\) o\(BA=I_n\). Entonces\(A\) es invertible y\(B = A^{-1}\).
- Prueba
-
Supongamos que\(AB = I_n\). Afirmamos que\(T(x)=Ax\) es sobre. Efectivamente, para cualquiera\(b\) en\(\mathbb{R}^n \text{,}\) tenemos
\[ b = I_nb = (AB)b = A(Bb), \nonumber \]
así\(T(Bb) = b\text{,}\) y por lo tanto\(b\) está en el rango de\(T\). Por lo tanto,\(A\) es invertible por el Teorema\(\PageIndex{1}\). Ya que\(A\) es invertible, tenemos
\[ A^{-1} = A^{-1} I_n = A^{-1} (AB) = (A^{-1} A)B = I_n B = B, \nonumber \]
por lo\(B = A^{-1}.\)
Ahora supongamos eso\(BA = I_n\). Afirmamos que\(T(x) = Ax\) es uno a uno. En efecto, supongamos eso\(T(x) = T(y)\). Entonces\(Ax = Ay\text{,}\) así\(BAx = BAy\). Pero\(BA = I_n\text{,}\) así\(I_nx = I_ny\text{,}\) y por lo tanto\(x=y\). Por lo tanto,\(A\) es invertible por el Teorema\(\PageIndex{1}\). Uno lo demuestra\(B = A^{-1}\) como arriba.
Concluimos con algunas situaciones comunes en las que el teorema de la matriz invertible es útil.
¿Esta matriz es invertible?
\[ A = \left(\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&4&7\\-2&-4&1\end{array}\right) \nonumber \]
Solución
La segunda columna es un múltiplo de la primera. Las columnas son linealmente dependientes, por lo que\(A\) no satisface la condición 4 del Teorema\(\PageIndex{1}\). Por lo tanto, no\(A\) es invertible.
Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz y dejar\(T(x) = Ax\). Supongamos que el rango de\(T\) es\(\mathbb{R}^n \). Mostrar que las columnas de\(A\) son linealmente independientes.
Solución
El rango de\(T\) es el espacio de columna de\(A\text{,}\) por lo que\(A\) satisface la condición 5 del Teorema\(\PageIndex{1}\). Por lo tanto,\(A\) también satisface la condición 4, que dice que las columnas de\(A\) son linealmente independientes.
Que\(A\) sea una\(3\times 3\) matriz tal que
\[ A\left(\begin{array}{c}1\\7\\0\end{array}\right) = A\left(\begin{array}{c}2\\0\\-1\end{array}\right). \nonumber \]
Demostrar que el rango de\(A\) es como mucho\(2\).
Solución
Si establecemos
\[ b = A\left(\begin{array}{c}1\\7\\0\end{array}\right) = A\left(\begin{array}{c}2\\0\\-1\end{array}\right), \nonumber \]
entonces\(Ax=b\) tiene múltiples soluciones, por lo que no satisface la condición 6 del Teorema\(\PageIndex{1}\). Por lo tanto, no cumple con la condición 5, por lo que las columnas de\(A\) no abarcan\(\mathbb{R}^3 \). Por lo tanto, el espacio de columna tiene una dimensión estrictamente inferior a 3, el rango es como máximo\(2\).
Supongamos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz tal que\(Ax=b\) es inconsistente algún vector\(b\). Mostrar que\(Ax=b\) tiene infinitamente muchas soluciones para algún (otro) vector\(b\).
Solución
Por hipótesis,\(A\) no satisface la condición 6 del Teorema\(\PageIndex{1}\). Por lo tanto, no satisface condición\(3\text{,}\) por lo que\(\text{Nul}(A)\) es un conjunto infinito. Si tomamos\(b=0\text{,}\) entonces la ecuación\(Ax=b\) tiene infinitamente muchas soluciones.