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11.2: Multiplicar Matriz

Última actualización

30 oct 2022
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- 11.1: Reseña del producto Dot
- 11.3: Matriz de Identidad

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

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$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

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$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

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$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$

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$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$

$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$

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$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

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$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$

$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$

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$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$

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$\newcommand{\ccal}{\cal C}$

$\newcommand{\scal}{\cal S}$

$\newcommand{\wcal}{\cal W}$

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$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$

$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$

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$\newcommand{\col}{\text{Col}}$

$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$

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$\newcommand{\var}{\text{Var}}$

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$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$

$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$

$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$

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$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$

$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$

$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$

$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$

$\newcommand{\lt}{<}$

$\newcommand{\gt}{>}$

$\newcommand{\amp}{&}$

$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Lea la Sección 10.1 del libro de álgebra lineal aplicada de Stephen Boyd y Lieven Vandenberghe que cubre la Multiplicación de Matrices. Aquí hay una revisión rápida:

Dos matrices $A$ y se $B$ pueden multiplicar juntas si y sólo si sus “dimensiones internas” son las mismas, $A$ es decir, es $n \times d$ y $B$ es $d \times m$ (tenga en cuenta que las columnas de $A$ y las filas de $B$ son ambas $d$ ). La multiplicación de estas dos matrices da como resultado una tercera matriz $C$ con la dimensión de $n \times m$ . Tenga en cuenta que $C$ tiene la misma primera dimensión que $A$ y la misma segunda dimensión que $B$ . es decir $n \times m$ .

El elemento ( $i$ , $j$ ) en $C$ es el producto punto de la fila $i$ th de $A$ y la $j$ th columna de $B$ .

La fila $i$ th de $A$ es:

$[ a_{i1}, a_{i2}, \dots , a_{id} ], \nonumber$

y la columna $j$ th de $B$ es:

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
b_ {1j}\\
b_ {2j}\\
\ vdots\\
b_ {dj}
\ end {matrix}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]

Entonces, el producto punto de estos dos vectores es:

$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{id}b_{dj} \nonumber$

Considera el $2 \times 2$ ejemplo simple a continuación:

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
a & b\\
c & d
\ end {matrix}
\ right]
\ left [
\ begin {matrix}
w & x\\
y & z
\ end {matrix}
\ right]
=
\ left [
\ begin {matrix}
aw+by & ax+bz\\
cw + dy & cx + dz
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]

Hagamos un ejemplo usando numpy y mostremos los resultados usando sympy:

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import numpy as np
import sympy as sym
sym.init_printing(use_unicode=True) # Trick to make matrixes look nice in jupyter

import numpy as np
import sympy as sym
sym.init_printing(use_unicode=True) # Trick to make matrixes look nice in jupyter

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A = np.matrix([[1,1], [2,2]])
sym.Matrix(A)
# 'Run' this cell to see the output

A = np.matrix([[1,1], [2,2]])
sym.Matrix(A)
# 'Run' this cell to see the output

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B = np.matrix([[3,4], [3,4]])
sym.Matrix(B)
# 'Run' this cell to see the output

B = np.matrix([[3,4], [3,4]])
sym.Matrix(B)
# 'Run' this cell to see the output

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sym.Matrix(A*B)
# 'Run' this cell to see the output

sym.Matrix(A*B)
# 'Run' this cell to see the output

Hacer esto

Dadas dos matrices; $A$ y $B$ , mostrar que el orden importa al hacer una matriz multiplicar. Es decir, en general, $AB \neq BA$ . Muestra esto con un ejemplo usando dos $3 \times 3$ matrices y numpy.

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# Put your code here.

# Put your code here.

Ahora considere el siguiente conjunto de ecuaciones lineales:

$3x_1-3x_2+9x_3 =~24 \nonumber$

$2x_1-2x_2+7x_3 =~17 \nonumber$

$-x_1+2x_2-4x_3 = -11 \nonumber$

Normalmente escribimos esto en la siguiente forma:

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
3 & -3 & 9\\
2 & -2 & 7\\
-1 & 2 & 2 & -4
\ end {matrix}
\ right]
\ left [
\ begin {matrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\ final {matriz}
\ derecha]
=
\ izquierda [
\ comenzar {matriz}
24\\
17\
-11
\ final {matriz}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]

Observe cómo hacer la multiplicación matricial resulta de nuevo en el sistema original de ecuaciones. Si renombramos las tres matrices de arriba a $A$ $x$ ,, $x$ y $b$ (note y $b$ son minúsculas porque son vectores de columna) entonces obtenemos la ecuación principal para esta clase, que es:

$Ax=b \nonumber$

Tenga en cuenta que la información sobre la ecuación no cambia cuando cambia de formato. Por ejemplo, el formato de ecuación, el formato incrementado y el $Ax=b$ formato contienen la misma información. Sin embargo, utilizamos los diferentes formatos para diferentes aplicaciones. Considere la función numpy.linalg.solve que asume el formato $Ax=b$

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A = np.matrix([[3, -3,9], [2, -2, 7], [-1, 2, -4]])
sym.Matrix(A)
# 'Run' this cell to see the output

A = np.matrix([[3, -3,9], [2, -2, 7], [-1, 2, -4]])
sym.Matrix(A)
# 'Run' this cell to see the output

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b = np.matrix([[24], [17], [-11]])
sym.Matrix(b)
# 'Run' this cell to see the output

b = np.matrix([[24], [17], [-11]])
sym.Matrix(b)
# 'Run' this cell to see the output

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#Calculate answer to x using numpy
x = np.linalg.solve(A,b)
sym.Matrix(x)
# 'Run' this cell to see the output

#Calculate answer to x using numpy
x = np.linalg.solve(A,b)
sym.Matrix(x)
# 'Run' this cell to see the output

Pregunta

¿Cuál es el tamaño de la matriz resultante de multiplicar una $10 \times 40$ matriz por una $40 \times 3$ matriz?

Hacer esto

Pregunta

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