17.2: Propiedades de los Determinantes

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Las siguientes son algunas propiedades útiles cuando se trabaja con determinantes. Estas propiedades se utilizan a menudo en pruebas y a veces se pueden utilizar para hacer cálculos más rápidos.

Operaciones de Fila

Dejar\(A\) ser una\(n \times n\) matriz y\(c\) ser un escalar distinto de cero. Dejar\(\left| A \right|\) ser una sintaxis simplificada para escribir el determinante de\(A\):

Si\(B\) se obtiene una matriz\(A\) multiplicando una fila (columna) por\(c\) entonces\( \left| B \right| = c \left| A \right|\).
Si\(B\) se obtiene una matriz\(A\) intercambiando dos filas (columnas) entonces\(\left| B \right| = − \left| A \right|\).
si una matriz\(B\) se obtiene de\(A\) agregando un múltiplo de una fila (columna) a otra fila (columna), entonces\(\left| B \right| = \left| A \right| \).

Matrices Singulares

Definición: Se dice que una matriz cuadrada\(A\) es singular si\(\left| A \right| = 0\). \(A\)no es singular si\(\left| A \right| \neq 0 \)

Ahora, Vamos a\(A\) ser una\(n \times n\) matriz. \(A\)es singular si alguno de estos es cierto:

todos los elementos de una fila (columna) son cero.
dos filas (columnas) son iguales.
dos filas (columnas) son proporcionales. es decir, una fila (columna) es igual que otra fila (columna) multiplicada por\(c\).

Pregunta

La siguiente matriz es singular debido a ciertas propiedades de columna o fila. Dar la razón:

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
1 & 5 & 5\\
0 & -2 & -2\\
3 & 1 & 1 & 1
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]

Pregunta

La siguiente matriz es singular debido a ciertas propiedades de columna o fila. Dar la razón:

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0 & 4\\
0 & 1 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]

Determinantes y Operaciones Matriciales

Dejar\(A\) y\(B\) ser\(n \times n\) matrices y\(c\) ser un escalar distinto de cero.

Determinante de un múltiplo escalar:\( \left| cA \right| = c^n \left| A \right| \)

Determinante de una transposición:\(\left| A^t \right| = \left| A \right| \)

Determinante de una inversa:\(\left| A-1 \right| = \frac{1}{\left| A \right|} \) (Suponiendo que\(A-1\) existe)

Pregunta

Si\(A\) es una\(3 \times 3\) matriz con\(\left| A \right| = 3\), use las propiedades de los determinantes para calcular el siguiente determinante:

\[ \left| 2A \right| \nonumber \]

Pregunta

Si\(A\) es una\(3 \times 3\) matriz con\( \left| A \right| = 3 \), use las propiedades de los determinantes para calcular el siguiente determinante:

\[ \left| A^2 \right| \nonumber \]

Pregunta

Si\(A\) y\(B\) son\(3 \times 3\) matrices y\( \left| A \right| = -3 \),\( \left| B \right| = 2\), computar el siguiente determinante:

\[ \left| AB \right| \nonumber \]

Pregunta

Si\(A\) y\(B\) son\(3 \times 3\) matrices y\( \left| A \right| = -3 \),\( \left| B \right| = 2\), computar el siguiente determinante:

\[ \left| 2 AB^{-1} \right| \nonumber \]

Matrices triangulares

Definición: Una matriz triangular superior tiene elementos distintos de cero que se encuentran sobre o por encima de la diagonal principal y cero elementos debajo de la diagonal principal. Por ejemplo:

\ [\ begin {split} A =
\ left [
\ begin {matrix}
2 & -1 & 9 & 4\\
0 & 3 & 0 & 6\\
0 & 0 & 0 & 5 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\ end {matriz}
\ derecha ]
\ end {split}\ nonumber\]

El determinante de una matriz de triángulo superior\(A\) es el producto de los elementos diagonales de la matriz\(A\).

Además, dado que el Determinante es el mismo para una matriz y es transponer (es decir\( \left| A^t \right| = \left| A \right| \), ver definición anterior) el determinante de una matriz de triángulo inferior es también el producto de los elementos diagonales.

Pregunta

¿Cuál es el determinante de la matriz\(A\)?

Uso de Propiedades de los determinantes:

Aquí hay un gran video que muestra cómo puedes usar las propiedades de los determinantes:

from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("aKX5_DucNq8",width=640,height=360, cc_load_policy=True)

Pregunta (Una desafiante)

Utilizando el patrón establecido en el video ¿se puede calcular el determinado de la siguiente matriz?

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
1 & a & a^2 & a^3\\
1 & b & b^2 & b^3\\
1 & c & c^2 & c^3\\
1 & d & d^2 & d^3
\ end {matriz}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]