1: Introducción

Objetivos de aprendizaje

Después de leer este capítulo, deberías poder

1. definir qué es una matriz.
2. identificar tipos especiales de matrices, y
3. identificar cuando dos matrices son iguales.

¿Qué aspecto tiene una matriz?

Las matrices están en todas partes. Si has usado una hoja de cálculo como Excel o números escritos en una tabla, has usado una matriz. Las matrices hacen más clara la presentación de los números y facilitan la programación de los cálculos. Mira la matriz a continuación sobre la venta de llantas en una tienda BlowoutR'us — dada por trimestre y marca de llantas.

\[\begin{matrix} Tirestone\\ Michigan\\ Copper\\ \end{matrix} \stackrel{\mbox{Q1. Q2. Q3. Q4}}{\begin{bmatrix} 25 & 20 & 3 & 2 \\ 5 & 10 &15 &25 \\ 6 & 16 &7 & 27 \\ \end{bmatrix}} \nonumber \]

Si uno quiere saber cuántas llantas de Cobre se vendieron en el Cuarto Cuarto, vamos por la fila Cobre y columna Q 4 y encontramos que es 27.

Entonces, ¿qué es una matriz?

Una matriz es una matriz rectangular de elementos. Los elementos pueden ser expresiones simbólicas o/y números. Matriz\(\lbrack A\rbrack\) se denota por

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & {.......} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & {.......} & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & {.......} & a_{mn} \\ \end{bmatrix}\nonumber \]

\(i\)Fila de\(\lbrack A\rbrack\) tiene\(n\) elementos y es

\[\left\lbrack a_{i1}a_{i2}{....}a_{in} \right\rbrack \nonumber \]

y columna\(j\) de\(\lbrack A\rbrack\) tiene\(m\) elementos y es

\[\begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Cada matriz tiene filas y columnas y esto define el tamaño de la matriz. Si una matriz\(\lbrack A\rbrack\) tiene\(m\) filas y\(n\) columnas, el tamaño de la matriz se denota por\(m \times n\). La matriz también se\(\lbrack A\rbrack\) puede denotar por\(\lbrack A\rbrack_{m \times n}\) para mostrar que\(\lbrack A\rbrack\) es una matriz con\(m\) filas y\(n\) columnas.

Cada entrada en la matriz se denomina entrada o elemento de la matriz y se denota por\(a_{ij}\) donde\(i\) está el número de fila y\(j\) es el número de columna del elemento.

La matriz para el ejemplo de venta de neumáticos podría ser denotada por la matriz [A] como

\[\ \lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 20 & 3 & 2 \\ 5 & 10 & 15 & 25 \\ 6 & 16 & 7 & 27 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Hay 3 filas y 4 columnas, por lo que el tamaño de la matriz es\(3 \times 4\). En la\(\lbrack A\rbrack\) matriz anterior,\(a_{34} = 27\).

¿Cuáles son los tipos especiales de matrices?

Vector: Un vector es una matriz que tiene solo una fila o una columna. Hay dos tipos de vectores: vectores de fila y vectores de columna.

Vector de fila:

Si una matriz\(\lbrack B\rbrack\) tiene una fila, se denomina vector de fila\(\lbrack B\rbrack = \lbrack b_{1} \;b_{2}\ldots\ldots b_{n}\rbrack\ \ \) y\(n\) es la dimensión del vector de fila.

Ejemplo 1

Dé un ejemplo de un vector de fila.

Solución

\[\lbrack B\rbrack = \lbrack 25\ \ \ 20\ \ \ 3\ \ \ 2\ \ \ 0\rbrack\ \ \nonumber \]

es un ejemplo de un vector de fila de dimensión 5.

Vector de columna:

Si una matriz\(\lbrack C\rbrack\) tiene una columna, se llama vector de columna

\[\lbrack C\rbrack = \begin{bmatrix} c_{1} \\ \vdots \\ \vdots \\ c_{m} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

y\(m\) es la dimensión del vector.

Ejemplo 2

Dé un ejemplo de un vector de columna.

Solución

\[\lbrack C\rbrack = \begin{bmatrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es un ejemplo de un vector de columna de dimensión 3.

Submatriz:

Si se eliminan algunas filas y/o columnas de una matriz (no\(\lbrack A\rbrack\) se pueden eliminar filas o columnas), la matriz restante se denomina submatriz de\(\lbrack A\rbrack\).

Ejemplo 3

Encuentra algunas de las submatrices de la matriz

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 3 & - 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

\[\begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 3 & - 1 & 2 \\ \end{bmatrix},\ \ \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 3 & - 1 \\ \end{bmatrix},\ \ \begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 \\ \end{bmatrix},\left\lbrack 4 \right\rbrack,\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

son algunas de las submatrices de\(\lbrack A\rbrack\). ¿Se pueden encontrar otras submatrices de\(\lbrack A\rbrack\)?

Matriz cuadrada:

Si el número de filas\(m\) de una matriz es igual al número de columnas\(n\) de una matriz\(\lbrack A\rbrack\), es decir\(m = n\), entonces\(\lbrack A\rbrack\) se denomina matriz cuadrada. Las entradas\(a_{11},a_{22},...,a_{nn}\) se denominan elementos diagonales de una matriz cuadrada. A veces la diagonal de la matriz también se llama el principal o principal de la matriz.

Ejemplo 4

Dar un ejemplo de una matriz cuadrada.

Solución

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 20 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \\ 6 & 15 & 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es una matriz cuadrada ya que tiene el mismo número de filas y columnas, es decir, 3. Los elementos diagonales de\(\lbrack A\rbrack\) son\(a_{11} = 25,\ \ a_{22} = 10,\ \ a_{33} = 7\).

Matriz triangular superior:

Una\(n \times n\) matriz para la cual\(a_{ij} = 0,\ \ i > j\) para todos\(i,j\) se denomina matriz triangular superior. Es decir, todos los elementos por debajo de las entradas diagonales son cero.

Ejemplo 5

Dé un ejemplo de una matriz triangular superior.

Solución

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & - 0.001 & 6 \\ 0 & 0 & 15005 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es una matriz triangular superior.

Matriz triangular inferior:

Una\(n \times n\) matriz para la cual\(a_{ij} = 0,\ \ j > i\) para todos\(i,j\) se denomina matriz triangular inferior. Es decir, todos los elementos por encima de las entradas diagonales son cero.

Ejemplo 6

Dé un ejemplo de una matriz triangular inferior.

Solución

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0.3 & 1 & 0 \\ 0.6 & 2.5 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es una matriz triangular inferior.

Matriz diagonal:

Una matriz cuadrada con todos los elementos no diagonales iguales a cero se denomina matriz diagonal, es decir, solo las entradas diagonales de la matriz cuadrada pueden ser distintas de cero, (\(a_{ij} = 0,\ \ i \neq j\)).

Ejemplo 7

Dar ejemplos de una matriz diagonal.

Solución

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2.1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es una matriz diagonal.

Cualquiera o todas las entradas diagonales de una matriz diagonal pueden ser cero. Por ejemplo

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2.1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es también una matriz diagonal.

Matriz de identidad:

Una matriz diagonal con todos los elementos diagonales iguales a 1 se denomina matriz de identidad, (\(a_{ij} = 0,\ \ i \neq j\)para todos\(i,j\) y\(a_{ii} = 1\) para todos\(i\)).

Ejemplo 8

Dar un ejemplo de una matriz de identidad.

Solución

\(\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

es una matriz de identidad.

Matriz cero:

Una matriz cuyas entradas son cero se denomina matriz cero, (\(a_{ij} = 0\)para todos\(i\) y\(j\)).

Ejemplo 9

Dar ejemplos de una matriz cero.

Solución

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0&0&0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lbrack C\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lbrack D\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

son todos ejemplos de una matriz cero.

Matrices tridiagonales:

Una matriz tridiagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la siguiente son cero: la diagonal mayor, la diagonal por encima de la diagonal mayor y la diagonal por debajo de la diagonal mayor.

Ejemplo 10

Dé un ejemplo de una matriz tridiagonal.

Solución

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

es una matriz tridiagonal.

¿Las matrices no cuadradas tienen entradas diagonales?

Sí, para una\(m \times n\) matriz\(\lbrack A\rbrack\), las entradas diagonales están\(a_{11},a_{22}...,a_{k - 1,k - 1},a_{kk}\) donde\(k = min\{ m,\ n\}\).

Ejemplo 11

¿Cuáles son las entradas diagonales de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 3.2 & 5 \\ 6 & 7 \\ 2.9 & 3.2 \\ 5.6 & 7.8 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Solución

Los elementos diagonales de\(\lbrack A\rbrack\) son\(a_{11} = 3.2\ and\ a_{22} = 7.\)

Matriz diagonalmente dominante:

Una matriz\(n \times n\) cuadrada\([A]\) es una matriz diagonalmente dominante si

\[\left|a_{ii}\right| \geq \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for } i=1,2,....,n \nonumber\]

es decir, para cada fila, el valor absoluto (también llamado magnitud) del elemento diagonal es mayor o igual a la suma de los valores absolutos del resto de los elementos de esa fila.

Ejemplo 12

Dar ejemplos de matrices que son diagonalmente dominantes y aquellas que no diagonalmente dominantes.

Solución

1. La matriz

\[[A]=\begin{bmatrix}15 & 6 & 7\\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & 2 & 6\end{bmatrix} \nonumber\]

es una matriz diagonalmente dominante.

¿Por qué? Porque para todas y cada una de las filas, la respuesta a la pregunta a continuación es Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|7|=13,15 \geq 13\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1 \geq 4\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{33}\right|=|6|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6 \geq 5\nonumber\]

2. La matriz

\[[A] = \begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber\]

es una matriz diagonalmente dominante.

¿Por qué? Porque para todas y cada una de las filas, la respuesta a la pregunta a continuación es Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{22}\right|=|-4|=4, \quad\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4 \geq 4\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber\]

3. La matriz

\[[A] = \begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber\]

es una matriz diagonalmente dominante.

¿Por qué? Porque para todas y cada una de las filas, la respuesta a la pregunta a continuación es Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1 \geq 4\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber\]

4. La matriz

\[[A] = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \end{bmatrix}\nonumber\]

no es una matriz diagonalmente dominante.

¿Por qué? Porque para todas y cada una de las filas, la respuesta a la siguiente pregunta no es un Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=\left|25\right| ,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|5|+|1|=6,25 \geq 6\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? No, porque

\[\left|a_{22}\right|=|8|=8, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|64|+|1|=65,8<65\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? No, porque

\[\left|a_{33}\right|=|1|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|144|+|12|=156, 1<156\nonumber\]

Matriz débil diagonalmente dominante:

La respuesta es simple — la definición de una matriz débil (ly) diagonalmente dominante es idéntica a la de una matriz diagonalmente dominante ya que la desigualdad utilizada para el cheque es una desigualdad débil mayor o igual a (\(\geq\)).

Matriz estrictamente dominante en diagonal:

Una matriz\(n \times n\) cuadrada es una matriz estrictamente dominante en diagonal si

\[\left|a_{ii}\right| > \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for } i=1,2,....,n\nonumber\]

es decir, para cada fila, el valor absoluto del elemento diagonal es estrictamente mayor que la suma de los valores absolutos del resto de los elementos de esa fila.

Ejemplo 13

Dar ejemplos de matrices estrictamente diagonalmente dominantes y no matrices estrictamente diagonalmente dominantes.

Solución

1. La matriz

\[[A] = \begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & 2 & 6 \end{bmatrix}\nonumber\]

es una matriz estrictamente dominante en diagonal

¿Por qué? Porque para todas y cada una de las filas, la respuesta a la pregunta a continuación es Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|7|=13,15>13 .\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1>4\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{33}\right|=|6|\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6>5\nonumber\]b) La matriz

\[[A]=\begin{bmatrix} 13 & 6 & 7 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & 2 & 6 \end{bmatrix}\nonumber\]

no es una matriz estrictamente dominante en diagonal

¿Por qué? Porque para todas y cada una de las filas, la respuesta a la siguiente pregunta no es un Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? No, porque

\[\left|a_{11}\right|=|13|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|7|=13,13 \ngtr 13\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1>4\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{33}\right|=|6|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6>5\nonumber\]

3. La matriz

\[[A]=\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \end{bmatrix}\nonumber\]

no es una matriz estrictamente dominante en diagonal.

¿Por qué? Porque para todas y cada una de las filas, la respuesta a la siguiente pregunta no es un Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=|25|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|5|+|1|=6,25>6\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? No, porque

\[\left|a_{22}\right|=|8|=8, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|64|+|1|=65,8<65\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? No, porque

\[\left|a_{33}\right|=|1||| a_{31}|+| a_{32}|=| 144|+| 12 \mid=156, 1<156\nonumber\]

Matriz irreducible diagonalmente dominante

Una matriz\(n \times n\) cuadrada es una matriz irreducible diagonalmente dominante si

\[[A]\ \text{is irreducible},\nonumber\]

\[\left|a_{ii}\right| \geq \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for } i=1,2,....,n\ \text{and}\nonumber\]

\[\left|a_{ii}\right| > \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for at least one row, } i=1,2,....,n\nonumber\]

La segunda condición significa que para cada fila, el valor absoluto (también llamado magnitud) del elemento diagonal es mayor o igual a la suma de los valores absolutos del resto de los elementos de esa fila. La tercera condición significa que para al menos una fila, el valor absoluto (también llamado magnitud) del elemento diagonal es mayor que la suma de los valores absolutos del resto de los elementos de esa fila.

Ejemplo 14

Dar ejemplos de matrices que son irreduciblemente diagonalmente dominantes y aquellas que no son irreduciblemente diagonalmente dominantes.

Solución

1. La matriz

\[[A]=\begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & 2 & 6 \end{bmatrix}\nonumber\]

es una matriz irreducible diagonalmente dominante.

¿Por qué? Porque la respuesta a cada pregunta a continuación es Sí.

¿Es\([A]\) irreducible? Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|7|=13,15>13 .\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1>4\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{33}\right|=|6|\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6>5\nonumber\]

¿La desigualdad se satisface estrictamente por al menos una fila? Sí, está satisfecho para las Filas 1, 2 y 3.

2. La matriz

\[[A]=\begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber\]

es una matriz no irreducible diagonalmente dominante.

¿Por qué? Porque la respuesta a cada pregunta a continuación no es un Sí.

¿Es\([A]\) irreducible? Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{22}\right|=|-4|=4, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4 \geq 4\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber\]

¿La desigualdad se satisface estrictamente por al menos una fila? No.

3. La matriz

\[[A]=\begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber\]

es una matriz irreducible diagonalmente dominante.

¿Por qué? Porque la respuesta a cada pregunta a continuación es Sí.

¿Es\([A]\) irreducible? Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1 \geq 4\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber\]

¿La desigualdad se satisface estrictamente por al menos una fila? Sí, está satisfecho para la Fila 2.

4. La matriz

\[[A]=\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \end{bmatrix}\nonumber\]

no es una matriz irreducible diagonalmente dominante.

¿Por qué? Porque la respuesta a cada pregunta a continuación no es un Sí.

¿Es\([A]\) irreducible? Sí.

Fila 1: ¿Es\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Sí, porque

\[\left|a_{11}\right|=|25|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|5|+|1|=6,25>6\nonumber\]

Fila 2: ¿Es\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? No, porque

\[\left|a_{22}\right|=|8|=8, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|64|+|1|=65,8<65\nonumber\]

Fila 3: ¿Es\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? No, porque

\[\left|a_{33}\right|=|1||| a_{31}|+| a_{32}|=| 144|+| 12 \mid=156, 1<156\nonumber\]

No hay necesidad de verificar la estricta condición de desigualdad..

Matriz irreducible:

Una matriz cuadrada se llama matriz reducible si lo siguiente es verdadero. Tome los índices\(i=1,2,....,n\) y vea si se pueden dividir en dos conjuntos disjuntos no vacíos\(i_1,i_2,....,i_\alpha\) y de\(j_1,j_2,....,j_\beta\) tal manera que

\[n=\alpha + \beta,\ \text{and}\nonumber\]

y

\[a_{i_k j_l}=0,\ k=1,2,....,\alpha\ \text{and}\ l=1,2,....,\beta\nonumber\]

Si la matriz cuadrada no es reducible, se llama matriz irreducible.

Una matriz cuadrada\([A]\) se llama matriz reducible si y solo si para cualquier matriz de perturbación\([P]\), la multiplicación de la matriz\([P]^T[A][P]\) da como resultado una matriz triangular superior de bloque.

Ejemplo 15

Dar ejemplos de matrices irreducibles y reducibles.

Solución

1. La matriz

\[\begin{bmatrix} 0 & 5 & 7 \\ 8 & 0 & 0 \\ 10 & 0 & 0 \end{bmatrix}\nonumber\]

es una matriz irreducible.

2. La matriz

\[\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 6 \\ 10 & 0 & 0 \end{bmatrix}\nonumber\]

es una matriz reducible. ¿Por qué? Tome los índices\(i=1,2,3\) y vea que se pueden dividir en dos conjuntos disjuntos no vacíos 1 y 2,3 de tal manera que,

\[\alpha = 1, \beta = 2,\ \text{giving}\ \alpha + \beta = 1+2 = 3,\ \text{and}\nonumber\]

\[a_{i_k j_l}=0,\ k=1 \ \text{and}\ l = 1,2\nonumber\]

Consecuencias de las matrices diagonalmente dominantes

Si una matriz cuadrada es estrictamente dominante en diagonal

• entonces la matriz no es singular.

• entonces si la matriz es simétrica con entradas diagonales no negativas, la matriz es positiva semidefinida.

• entonces si la matriz es la matriz de coeficientes para un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas, el método numérico iterativo de Gauss-Seidel siempre convergerá.

• entonces si la matriz es la matriz de coeficientes para un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas, el método numérico iterativo Jordan siempre convergerá.

• entonces si las entradas diagonales de la matriz son positivas, las partes reales de los valores propios de la matriz son positivas.

• entonces si las entradas diagonales de la matriz son negativas, las partes reales de los valores propios de la matriz son negativas.

• entonces si la matriz es dominante en columna, no se necesita pivotar para la eliminación gaussiana.

• entonces si la matriz es dominante en columna, no se necesita pivotar para la factorización de LU.

Si una matriz cuadrada es irreducible diagonalmente dominante

• entonces si la matriz es la matriz de coeficientes para un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas, el método numérico iterativo de Gauss-Seidel siempre convergerá.

• entonces si la matriz es la matriz de coeficientes para un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas, el método numérico iterativo Jordan siempre convergerá.

• la matriz no es singular.

Si una matriz cuadrada es diagonalmente dominante (también llamada débilmente diagonalmente dominante)

• entonces si la matriz es dominante en columna, no se necesita pivotar para la eliminación gaussiana.

• entonces si la matriz es dominante en columna, no se necesita pivotar para la factorización de LU.

Matrices iguales:

Dos matrices [A] y [B] son iguales si el tamaño de [A] y [B] es el mismo (número de filas y columnas de [A] son iguales que el de [B]) y\(a_{ij} = b_{ij}\) para todos i y j.

Ejemplo 16

¿Qué haría

\[[A] = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix}\nonumber\]

ser igual a

\[[B] = \begin{bmatrix} b_{11} & 3 \\ 6 & b_{22} \\ \end{bmatrix}\nonumber\]

Solución

Las dos matrices\([A]\) y\([B]\) serían iguales si\(b_{11} = 2\) y\(b_{22} = 7\).

Términos clave:

Matrix

Vector

Submatriz

Matriz cuadrada

Matrices iguales

Matriz cero

Matriz de identidad

Matriz diagonal

Matriz triangular superior

Matriz triangular inferior

Matriz tri-diagonal

Quiz de Introducción

Quiz 1

Para una matriz triangular\(n \times n\) superior\(\left\lbrack A \right\rbrack\),

(A)\(a_{ij} = 0,i > j\)

(B)\(a_{ij} = 0,j > i\)

(C)\(a_{ij} \neq 0,i > j\)

(D)\(a_{ij} \neq 0,j > i\)

Quiz 2

¿Cuál de estas matrices cuadradas es estrictamente dominante diagonalmente?

(A)\(\begin{bmatrix} 5 & 7 & 0 \\ 3 & - 6 & 2 \\ 2 & 2 & 9 \\ \end{bmatrix}\)

(B)\(\begin{bmatrix} 7 & - 5 & - 2 \\ 6 & - 13 & - 7 \\ 6 & - 7 & - 13 \\ \end{bmatrix}\)

(C)\(\begin{bmatrix} 8 & - 5 & - 2 \\ 6 & - 14 & - 7 \\ 6 & - 7 & - 13 \\ \end{bmatrix}\)

(D)\(\begin{bmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 6 & 14 & 7 \\ 6 & 7.5 & 14 \\ \end{bmatrix}\)

Quiz 3

El orden de la siguiente matriz es

\[\begin{bmatrix} 4 & - 6 & - 7 & 2 \\ 3 & 2 & - 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

(A)\(4 \times 2\)

(B)\(2 \times 4\)

(C)\(8 \times 1\)

(D) no definido

Quiz 4

Para hacer iguales las dos matrices siguientes

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & - 6 & 7 \\ 3 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & p & 7 \\ 3 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]el valor de\(p\) es

(A)\(- 6\)

(B)\(6\)

(C)\(0\)

(D)\(7\)

Quiz 5

Para que una\(n \times n\) matriz cuadrada\(\left\lbrack A \right\rbrack\) sea una matriz de identidad,

(A)\(a_{ij} \neq 0,i = j;a_{ij} = 0,i = j\)

(B)\(a_{ij} = 0,i \neq j;a_{ij} = 1,i = j\)

(C)\(a_{ij} = 0,i \neq j;a_{ij} = i,i = j\)

(D)\(a_{ij} = 0,i \neq j;a_{ij} > 0,i = j\)

Quiz 6

Para que la siguiente matriz cuadrada sea diagonalmente dominante, el valor de\(p\) necesita ser

\[\begin{bmatrix} 6 & - 2 & - 4 \\ 7 & 9 & 1 \\ 8 & - 5 & p \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

(A) mayor o igual a 13

(B) mayor que 3

(C) mayor o igual a 3

(D) mayor a 13

Ejercicio de Introducción

Ejercicio 1

Escriba un ejemplo de un vector de fila de dimensión 4.

Responder

\(\begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio 2

Escribe un ejemplo de un vector de columna de dimensión 4.

Responder

\(\ \begin{bmatrix} 5 \\ - 7 \\ 3 \\ 2.5 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio 3

Escribe un ejemplo de una matriz cuadrada de orden\(4 \times 4\).

Responder

\(\ \begin{bmatrix} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ - 2 & 3 & 5 & 1 \\ 1.5 & 6 & 7 & 8 \\ 1.1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio 4

Escribe un ejemplo de una matriz tri-diagonal de orden\(4 \times 4\).

Responder

\(\ \begin{bmatrix} 6 & 3 & 0 & 0 \\ 2.1 & 2 & 2.2 & 0 \\ 0 & 6.2 & - 3 & 3.5 \\ 0 & 0 & 2.1 & 4.1 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio 5

Escribir un ejemplo de una matriz de identidad de orden\(5 \times 5\).

Responder

\(\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio 6

Escribe un ejemplo de una matriz triangular superior de orden\(4 \times 4\).

Responder

\(\ \begin{bmatrix} 6 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio 7

Escribe un ejemplo de una matriz triangular inferior de orden\(4 \times 4\).

Responder

\(\ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 4 & 0 \\ 5 & 3 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}\)

Ejercicio 8

¿Cuáles de estas matrices son estrictamente diagonalmente dominantes?

1. \(\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \\ \end{bmatrix}\)
2. \(\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 3 & 2 & - 5 \\ \end{bmatrix}\)
3. \(\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 6 & - 8 & 2 \\ 7 & - 5 & 12 \\ \end{bmatrix}\)

Responder

(A) Sí (B) No (C) No

Ejercicio 9

Encuentra todas las submatrices de

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Responder

\(\left\lbrack 10 \right\rbrack\)\(\left\lbrack - 7 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 0 \right\rbrack\),\(\left\lbrack - 0.001 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 6 \right\rbrack\)\(\begin{bmatrix} 10 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} - 7 \\ - .001 \\ \end{bmatrix}\),,\(\begin{bmatrix} 0 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 0 & - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 10 & - 7 \\ 0 & - 0.001 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} - 7 & 0 \\ - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix}\),\(\left\lbrack 10, - 7 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 10,0 \right\rbrack\),\(\left\lbrack - 7,0 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 0,6 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 0, - 0.001 \right\rbrack\),\(\left\lbrack - 0.001,6 \right\rbrack\).

Ejercicio 10

Si

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 4 & - 1 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}, \nonumber \]

qué son\(b_{11}\) y\(b_{12}\) en

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

si\(\lbrack B\rbrack = 2\lbrack A\rbrack\).

Responder

\(\ 8, - 2\)

Ejercicio 11

Son matriz

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

y matriz

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ - 7 & - 0.001 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

igual?

Responder

No

Ejercicio 12

Una matriz cuadrada\(\lbrack A\rbrack\) es triangular inferior si

1. \(a_{ij} = 0\)para\(i > j\)
2. \(a_{ij} = 0\)para\(j > i\)
3. \(a_{ij} = 0\)para\(i = j\)
4. \(a_{ij} = 0\)para\(i + j = odd\ integer\)

Responder

B

Ejercicio 13

Una matriz cuadrada\(\lbrack A\rbrack\) es triangular superior si

1. \(a_{ij} = 0\)para\(i > j\)
2. \(a_{ij} = 0\)para\(j > i\)
3. \(a_{ij} = 0\)para\(i = j\)
4. \(a_{ij} = 0\)para\(i + j = odd\ integer\)

Responder

A