4.3: Subespacios

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Como se mencionó en la última sección, existen innumerables ejemplos de espacios vectoriales. Una fuente particularmente importante de nuevos espacios vectoriales proviene de observar subconjuntos de un conjunto que ya se sabe que es un espacio vectorial.

Definición 4.3.1. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial sobre\( \mathbb{F}\), y dejar\( U\) ser un subconjunto de\(V\). Entonces llamamos a\(U\) un subespacio de\(V\) si\(U\) es un espacio vectorial sobre\(\mathbb{F}\) debajo de las mismas operaciones que\(V\) se convierten en un espacio vectorial sobre\(\mathbb{F}\).

Para verificar que un subconjunto\(U\) de\(V\) es un subespacio, es necesario verificar solo algunas de las condiciones de un espacio vectorial.

Lema 4.3.2. Dejar\( U \subset V \) ser un subconjunto de un espacio vectorial\(V\) sobre\(F\). Entonces\(U\) es un subespacio de\(V\) si y sólo si se mantienen las siguientes tres condiciones.

1. identidad aditiva:\( 0 \in U \)
2. cierre en adición:\(u, v \in U \Rightarrow u + v \in U\);
3. cierre bajo multiplicación escalar:\( a \in \mathbb{F}, ~u \in U \implies au \in U \).

Comprobante. La condición 1 implica que existe la identidad aditiva. La condición 2 implica que la adición de vectores está bien definida y, la Condición 3 asegura que la multiplicación escalar esté bien definida. Todas las demás condiciones para un espacio vectorial se heredan de V ya que la suma y la multiplicación escalar para los elementos en\(U\) son las mismas cuando se ven como elementos en cualquiera\(U\) o\(V\).

Observación 4.3.3. Tenga en cuenta que si\(U \in V\) requerimos ser un subconjunto no vacío de\(V\), entonces la condición 1 de Lemma 4.3.2 ya se sigue de la condición 3 ya que\(0u = 0 \rm{~for~} u \in U\).

Ejemplo 4.3.4. En cada espacio vectorial\(V\), los subconjuntos\({0}\) y\(V\) se verifican fácilmente para que sean subespacios. A estos los llamamos los subespacios triviales de\(V\).

Ejemplo 4.3.5. \({(x_1 , 0) | x_1 \in R} \)es un subespacio de R2.

Ejemplo 4.3.6. \( U = { (x_1 , x_2 , x_3) \in \mathbb{F}^3 | x_1 + 2x_2 = 0 } \)es un subespacio de\(\mathbb{F}^3\). Para ver esto, necesitamos revisar las tres condiciones de Lemma 4.3.2.

El vector cero\((0, 0, 0) \in \mathbb{F}^3\) está en\(U\) ya que satisface la condición\(x_1 + 2x_2 = 0\). Para mostrar que\(U\) se cierra bajo suma, tomar dos vectores\(v = (v_1 , v_2 , v_3 ) \) y\(u = (u_1 , u_2, u_3 )\). Entonces, por la definición de\(U\), tenemos\(v_1 + 2v_2 = 0\) y\( u_1 + 2u_2 = 0\). Sumando estas dos ecuaciones, no es difícil ver que el vector

\[ v + u = (v_1 + u_1, v_2 + u_2 , v_3 + u_3 ) \rm{~satisfies~} (v_1 + u_1 ) + 2(v_2 + u_2 ) = 0. \]

De ahí\(v + u \in U\). De igual manera, para mostrar cierre bajo multiplicación escalar, tomar\(u = (u_1 , u_2, u_3 ) \in U\) y\(a \in \mathbb{F}\). Entonces\(au = (au_1 , au_2 , au-3 )\) satisface la
ecuación\(au_1 + 2au_2 = a(u_1 + 2u_2 ) = 0\), y así\(au \in U\).

Ejemplo 4.3.7. \(U = {p \in \mathbb{F}[z] | p(3) = 0}\)es un subespacio de\(\mathbb{F}[z]\). Nuevamente, para verificar esto, necesitamos verificar las tres condiciones de Lemma 4.3.2.

Ciertamente el polinomio cero\( p(z) = 0z^n + 0z^{n-1}+ \ldots + 0z + 0\) está en\(U\) ya que\(p(z\)) evaluado a 3 es 0. Si\(f(z)\),\(g(z)\)\ en U\),\(f (3) = g(3) = 0\) entonces para que\((f + g)(3) = f (3) + g(3) = 0 + 0 = 0\). De ahí\(f + g \in U\), lo que prueba el cierre bajo adición. De igual manera,\((af )(3) = af (3) = a0 = 0\) para cualquiera\(a \in F\), lo que prueba cierre bajo multiplicación escalar.

Ejemplo 4.3.8. Como en el Ejemplo 4.1.6, let\(D \subset \mathbb{R}\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\), y let\(\cal{C}^{\infty}(D)\) denotar el conjunto de todas las funciones smooth (a.k.a. continuamente diferenciables) con dominio\(D\) y codominio\(\mathbb{R}\). Entonces, bajo las mismas operaciones de suma puntual y multiplicación escalar, se puede mostrar que\(\cal{C}^{\infty}(D)\) es un subespacio de\(\cal{C}(D)\).

Figura 4.3.1: La intersección\(U \cap U^\prime\) de dos subespacios es un subespacio.

Ejemplo 4.3.9. Los subespacios de\(\mathbb{R}^2\) consisten en\({0}\), todas las líneas a través del origen, y\(\mathbb{R}^2\) en sí mismo. Los subespacios de\(\mathbb{R}^3\) son {0}, todas las líneas a través del origen, todos los planos a través del origen, y\(\mathbb{R}^3\). De hecho, estos agotan todos los subespacios de\(\mathbb{R}^2\) y\(\mathbb{R}^3\), respectivamente. Para demostrarlo, necesitaremos más herramientas como la noción de bases y dimensiones que se discutirán próximamente. En particular, esto demuestra que las líneas y planos que no pasan por el origen no son subespacios (¡que no es tan difícil de mostrar!).

Tenga en cuenta que si\(U\) y\(U^\prime\) son subespacios de\(V\), entonces su intersección también\(U \cap U^\prime\) es un subespacio (ver Ejercicio de prueba de escritura 2 y Figura 4.3.1). Sin embargo, la unión de dos subespacios no es necesariamente un subespacio. Piense, por ejemplo, en la unión de dos líneas en\(\mathbb{R}^2\), como en la Figura 4.4.1 del siguiente capítulo.

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