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4.3: Subespacios

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Como se mencionó en la última sección, existen innumerables ejemplos de espacios vectoriales. Una fuente particularmente importante de nuevos espacios vectoriales proviene de observar subconjuntos de un conjunto que ya se sabe que es un espacio vectorial.

Definición 4.3.1. DejarV ser un espacio vectorial sobreF, y dejarU ser un subconjunto deV. Entonces llamamos aU un subespacio deV siU es un espacio vectorial sobreF debajo de las mismas operaciones queV se convierten en un espacio vectorial sobreF.

Para verificar que un subconjuntoU deV es un subespacio, es necesario verificar solo algunas de las condiciones de un espacio vectorial.

Lema 4.3.2. DejarUV ser un subconjunto de un espacio vectorialV sobreF. EntoncesU es un subespacio deV si y sólo si se mantienen las siguientes tres condiciones.

  1. identidad aditiva:0U
  2. cierre en adición:u,vUu+vU;
  3. cierre bajo multiplicación escalar:aF, uUauU.

Comprobante. La condición 1 implica que existe la identidad aditiva. La condición 2 implica que la adición de vectores está bien definida y, la Condición 3 asegura que la multiplicación escalar esté bien definida. Todas las demás condiciones para un espacio vectorial se heredan de V ya que la suma y la multiplicación escalar para los elementos enU son las mismas cuando se ven como elementos en cualquieraU oV.

Observación 4.3.3. Tenga en cuenta que siUV requerimos ser un subconjunto no vacío deV, entonces la condición 1 de Lemma 4.3.2 ya se sigue de la condición 3 ya que0u=0 for uU.

Ejemplo 4.3.4. En cada espacio vectorialV, los subconjuntos0 yV se verifican fácilmente para que sean subespacios. A estos los llamamos los subespacios triviales deV.

Ejemplo 4.3.5. (x1,0)|x1Res un subespacio de R2.

Ejemplo 4.3.6. U=(x1,x2,x3)F3|x1+2x2=0es un subespacio deF3. Para ver esto, necesitamos revisar las tres condiciones de Lemma 4.3.2.

El vector cero(0,0,0)F3 está enU ya que satisface la condiciónx1+2x2=0. Para mostrar queU se cierra bajo suma, tomar dos vectoresv=(v1,v2,v3) yu=(u1,u2,u3). Entonces, por la definición deU, tenemosv1+2v2=0 yu1+2u2=0. Sumando estas dos ecuaciones, no es difícil ver que el vector

v+u=(v1+u1,v2+u2,v3+u3) satises (v1+u1)+2(v2+u2)=0.

De ahív+uU. De igual manera, para mostrar cierre bajo multiplicación escalar, tomaru=(u1,u2,u3)U yaF. Entoncesau=(au1,au2,au3) satisface la
ecuaciónau1+2au2=a(u1+2u2)=0, y asíauU.

Ejemplo 4.3.7. U=pF[z]|p(3)=0es un subespacio deF[z]. Nuevamente, para verificar esto, necesitamos verificar las tres condiciones de Lemma 4.3.2.

Ciertamente el polinomio cerop(z)=0zn+0zn1++0z+0 está enU ya quep(z) evaluado a 3 es 0. Sif(z),g(z)\ en U\),f(3)=g(3)=0 entonces para que(f+g)(3)=f(3)+g(3)=0+0=0. De ahíf+gU, lo que prueba el cierre bajo adición. De igual manera,(af)(3)=af(3)=a0=0 para cualquieraaF, lo que prueba cierre bajo multiplicación escalar.

Ejemplo 4.3.8. Como en el Ejemplo 4.1.6, letDR ser un subconjunto deR, y letC(D) denotar el conjunto de todas las funciones smooth (a.k.a. continuamente diferenciables) con dominioD y codominioR. Entonces, bajo las mismas operaciones de suma puntual y multiplicación escalar, se puede mostrar queC(D) es un subespacio deC(D).

Figura 4.3.1: La intersecciónUU de dos subespacios es un subespacio.

Ejemplo 4.3.9. Los subespacios deR2 consisten en0, todas las líneas a través del origen, yR2 en sí mismo. Los subespacios deR3 son {0}, todas las líneas a través del origen, todos los planos a través del origen, yR3. De hecho, estos agotan todos los subespacios deR2 yR3, respectivamente. Para demostrarlo, necesitaremos más herramientas como la noción de bases y dimensiones que se discutirán próximamente. En particular, esto demuestra que las líneas y planos que no pasan por el origen no son subespacios (¡que no es tan difícil de mostrar!).

Tenga en cuenta que siU yU son subespacios deV, entonces su intersección tambiénUU es un subespacio (ver Ejercicio de prueba de escritura 2 y Figura 4.3.1). Sin embargo, la unión de dos subespacios no es necesariamente un subespacio. Piense, por ejemplo, en la unión de dos líneas enR2, como en la Figura 4.4.1 del siguiente capítulo.

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