7.1: Subespacios invariantes

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Para comenzar nuestro estudio, veremos subespacios\(U\) de los\(V\) que tienen propiedades especiales bajo un operador\(T\) en\(\mathcal{L}(V,V)\).

Definición\(\PageIndex{1}\): invariant subspace

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\) con\(\dim(V)\ge 1\), y dejar\(T\in \mathcal{L}(V,V)\) ser un operador en\(V\). Entonces un subespacio\(U\subset V\) se llama un subespacio invariante bajo\(T\) si

\ begin {equation*}
Tu\ in U\ quad\ text {para todos\(u\in U\).}
\ end {equation*} Es
decir,\(U\) es invariante bajo\(T\) si la imagen de cada vector en\(U\) bajo\(T\) permanece dentro\(U\). Denotamos esto como\(TU = \{ Tu \mid u\in U \} \subset U\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Los subespacios\(\kernel(T)\) y\(\range(T)\) son subespacios invariantes bajo\(T\). Para ver esto, vamos\(u\in\kernel(T)\). Esto significa que\(Tu=0\). Pero, ya que\(0\in\kernel(T)\), esto implica eso\(Tu=0\in \kernel(T)\). Del mismo modo, vamos\(u\in \range(T)\). Ya que\(Tv\in \range(T)\) para todos\(v\in V\), ciertamente también tenemos eso\(Tu \in \range(T)\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Toma el operador lineal\(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) correspondiente a la matriz

\ begin {ecuación*}
\ begin {bmatrix} 1&2&0\\ 1&1&0\\ 0&0&2\ end {bmatrix}
\ end {ecuación*}

con respecto a la base\((e_1,e_2,e_3)\). Entonces\(\Span(e_1,e_2)\) y ambos\(\Span(e_3)\) son subespacios invariantes bajo\(T\).

Un caso especial importante de la Definición 7.1.1 involucra subespacios invariantes unidimensionales bajo un operador\(T\) en\(\mathcal{L}(V,V)\). Si\(\dim(U) = 1\), entonces existe un vector distinto de cero\(u\) en\(V\) tal que

\[ U = \{ au \mid a \in \mathbb{F} \}.\]

En este caso, debemos tener

\[ T u = \lambda u \quad ~\text{for some \(\lambda \in \mathbb{F}\)}. \]

Esto motiva las definiciones de vectores propios y valores propios de un operador lineal, como se da en la siguiente sección.

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