7.5: Matrices Triangulares Superiores
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Como antes, deja\(V\) ser un espacio vectorial complejo.
Dejar\(T\in\mathcal{L}(V,V)\) y\((v_1,\ldots,v_n)\) ser una base para\(V\). Recordemos que podemos asociar una matriz\(M(T)\ \in \mathbb{C}^{n\times n}\) al operador\(T\). Por Teorema 7.4.1, sabemos que\(T\) tiene al menos un valor propio, digamos\(\lambda\in \mathbb{C}\). Dejar\(v_1 \neq 0\) ser un eigenvector correspondiente a\(\lambda\). Por el Teorema de Extensión de Bases, podemos extender la lista\((v_1)\) a una base de\(V\). Ya que\(Tv_1 = \lambda v_1\), la primera columna de\(M(T)\) con respecto a esta base es
\[ \begin{bmatrix} \lambda \\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}. \]
Lo que vamos a mostrar a continuación es que podemos encontrar una base de\(V\) tal manera que la matriz\(M(T)\) sea triangular superior.
Definición 7.5.1: Matriz trianglar superior
Una matriz\(A=(a_{ij})\in \mathbb{F}^{n\times n}\) se llama triangular superior si es\(a_{ij}=0\) para\(i>j\).
Esquemáticamente, una matriz triangular superior tiene la forma
\[ \begin{bmatrix} * && * \\ &\ddots& \\ 0 &&* \end{bmatrix}, \]
donde las entradas\(*\) pueden ser cualquier cosa y cada entrada por debajo de la diagonal principal es cero.
Aquí hay dos razones por las que tener un operador\(T\) representado por una matriz triangular superior puede ser bastante conveniente:
- los valores propios están en la diagonal (como veremos más adelante);
- es fácil resolver el sistema correspondiente de ecuaciones lineales mediante sustitución inversa (como se discute en la Sección A.3).
La siguiente proposición nos dice qué significa la triangularidad superior en términos de operadores lineales y subespacios invariantes.
Proposición 7.5.2
Supongamos\(T\in \mathcal{L}(V,V)\) y eso\((v_1,\ldots,v_n)\) es una base de\(V\). Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:
- la matriz\(M(T)\) con respecto a la base\((v_1,\ldots,v_n)\) es triangular superior;
- \(Tv_k \in \Span(v_1,\ldots,v_k)\)para cada uno\(k=1,2,\ldots,n\);
- \(\Span(v_1,\ldots,v_k)\)es invariante bajo\(T\) para cada uno\(k=1,2,\ldots,n\).
Prueba
La equivalencia de Condición~1 y Condición~2 se desprende fácilmente de la definición ya que Condición~2 implica que los elementos de la matriz por debajo de la diagonal son cero.
Obviamente, Condición~3 implica Condición~2. Para mostrar que Condición~2 implica Condición~3, tenga en cuenta que cualquier vector\(v \in\Span(v_1,\ldots,v_k)\) puede escribirse como\(v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k\). Aplicando\(T\), obtenemos
\[ Tv = a_1 Tv_1 + \cdots + a_k Tv_k \in \Span(v_1,\ldots,v_k) \]
ya que, por Condición~2, cada uno\(Tv_j \in \Span(v_1,\ldots,v_j)\subset \Span(v_1,\ldots,v_k)\) para\(j=1,2,\ldots,k\) y desde el lapso es un subespacio de\(V\).
\(\square\)
El siguiente teorema muestra que los espacios vectoriales complejos de hecho tienen alguna base para la cual la matriz de un operador dado es triangular superior.
Teorema 7.5.3
Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional sobre\(\mathbb{C}\) y\(T\in\mathcal{L}(V,V)\). T hen existe una base\(B\) para\(V\) tal que\(M(T)\) sea triangular superior con respecto a\(B\).
Prueba
Se procede por inducción en\(\dim(V)\). Si\(\dim(V)=1\), entonces no hay nada que probar.
De ahí, supongamos que\(\dim(V)=n>1\) y que hemos probado el resultado del teorema para todos\(T\in \mathcal{L}(W,W)\), donde\(W\) es un complejo espacio vectorial con\(\dim(W)\le n-1\). Por Teorem7.4.1,\(T\) tiene al menos un valor propio\(\lambda\).
Definir
\[ U = \range(T-\lambda I), \]
y tenga en cuenta que
- \(\dim(U)<\dim(V)=n\)ya que\(\lambda\) es un valor propio de\(T\) y, por lo tanto, no\(T-\lambda I\) es suryectiva;
- \(U\)es un subespacio invariante de\(T\) ya que, para todos\(u\in U\), tenemos
\[ Tu = (T-\lambda I) u + \lambda u, \]
lo que implica que\(Tu\in U\) desde\((T-\lambda I) u \in \range(T-\lambda I)=U\) y\(\lambda u\in U\).
Por lo tanto, podemos considerar al operador\(S=T|_U\), que es el operador obtenido restringiendo\(T\) al subespacio\(U\). Por la hipótesis de inducción, existe una base\((u_1,\ldots,u_m)\) de\(U\) con\(m\le n-1\) tal que\(M(S)\) es triangular superior con respecto a\((u_1,\ldots,u_m)\). Esto significa que
\[ Tu_j = Su_j\in \Span(u_1,\ldots,u_j), \quad \text{for all \(j=1,2,\ldots,m\).} \]
Extender esto a una base\((u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_k)\) de\(V\). Entonces
\[ Tv_j=(T-\lambda I)v_j + \lambda v_j, \quad \text{for all \(j=1,2,\ldots,k\).} \]
Ya que\((T-\lambda I) v_j\in \range(T-\lambda I)=U=\Span(u_1,\ldots,u_m)\), tenemos que
\[ Tv_j \in \Span(u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_j), \quad \text{for all \(j=1,2,\ldots,k\).} \]
De ahí,\(T\) es triangular superior con respecto a la base\((u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_k)\).
\(\square\)
A continuación se presentan dos datos muy importantes sobre las matrices triangulares superiores y sus operadores asociados.
Proposición 7.5.4
Supongamos que\(T\in\mathcal{L}(V,V)\) es un operador lineal y que\(M(T)\) es triangular superior con respecto a alguna base de\(V\).
- \(T\)es invertible si y solo si todas las entradas en la diagonal de\(M(T)\) son distintas de cero.
- Los valores propios de\(T\) son precisamente los elementos diagonales de\(M(T)\).
Prueba de Proposición 7.5.4, Parte 1
\((v_1,\ldots,v_n)\)Sea una base de\(V\) tal que
\ begin {ecuación*}
M (T) =\ begin {bmatrix}\ lambda_1 &&*\\
&\ ddots&\\
0&&\ lambda_n
\ end {bmatrix}
\ end {ecuación*}
es triangular superior. El reclamo es que\(T\) es invertible si y sólo si\(\lambda_k\neq 0\) por todos\(k=1,2,\ldots,n\). Equivalentemente, esto puede reformularse de la siguiente manera: no\(T\) es invertible si y solo si\(\lambda_k=0\) para al menos uno\(k\in\{1,2,\ldots,n\}\).
Supongamos\(\lambda_k=0\). Demostraremos que esto implica la no invertibilidad de\(T\). Si\(k=1\), esto es obvio desde entonces\(Tv_1=0\), lo que implica que\(v_1\in\kernel(T)\) así eso no\(T\) es inyectivo y por lo tanto no invertible. Entonces asumamos eso\(k>1\). Entonces
\( Tv_j \in \Span(v_1,\ldots,v_{k-1}), \quad \)para todos\(j \le k\),
ya que\(T\) es triangular superior y\(\lambda_k=0\). De ahí que podamos\(S=T|_{\Span(v_1,\ldots,v_k)}\) definir como la restricción del\(T\) subespacio\(\Span(v_1,\ldots,v_k)\) para que
\[ S: \Span(v_1,\ldots,v_k) \to \Span(v_1,\ldots,v_{k-1}). \]
El mapa lineal no\(S\) es inyectivo ya que la dimensión del dominio es mayor que la dimensión de su codominio, es decir,
\[ \dim(\Span(v_1,\ldots,v_k)) = k > k-1 = \dim(\Span(v_1,\ldots,v_{k-1})). \]
De ahí que exista un vector\(0\neq v\in \Span(v_1,\ldots,v_k)\) tal que\(Sv=Tv=0\). Esto implica que tampoco\(T\) es inyectivo y por lo tanto tampoco invertible.
Ahora supongamos que eso no\(T\) es invertible. Tenemos que demostrar que al menos uno\(\lambda_k=0\). El mapa lineal\(T\) no ser invertible implica que no\(T\) es inyectivo. De ahí que exista un vector\(0\neq v\in V\) tal que\(Tv=0\), y podamos escribir
\ begin {ecuación*}
v = a_1 v_1 +\ cdots + a_k v_k
\ end {ecuación*}
para algunos\(k\), donde\(a_k\neq 0\). Entonces
\ comienza {ecuación}\ etiqueta {eq:expansión}
0 = Tv = (a_1 Tv_1 +\ cdots + a_ {k-1} Tv_ {k-1}) + a_k TV_k.\ etiqueta {7.5.1}
\ final {ecuación}
Ya que\(T\) es triangular superior con respecto a la base\((v_1,\ldots,v_n)\), eso lo sabemos\(a_1 Tv_1 + \cdots + a_{k-1} Tv_{k-1}\in \Span(v_1,\ldots,v_{k-1})\). De ahí que la Ecuación\ ref {7.5.1} muestre eso\(Tv_k \in \Span(v_1,\ldots,v_{k-1})\), lo que implica eso\(\lambda_k=0\).
\(\square\)
Prueba de Proposición 7.5.4, Parte 2.
Recordemos que\(\lambda\in\mathbb{F}\) es un valor propio de\(T\) si y sólo si el operador no\(T-\lambda I\) es invertible. Dejar\((v_1,\ldots,v_n)\) ser una base tal que\(M(T)\) sea triangular superior. Entonces
\ begin {ecuación*}
M (T-\ lambda I) =\ begin {bmatrix}\ lambda_1-\ lambda &&*\\
&\ ddots&\\
0&&\ lambda_n-\ lambda
\ end {bmatrix}.
\ end {ecuación*}
De ahí que por la Proposición 7.5.4 (1), no\(T-\lambda I\) sea invertible si y sólo si\(\lambda=\lambda_k\) para algunos\(k\).
\(\square\)