9.4: Bases ortonormales

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Ahora definimos las nociones de base ortogonal y base ortonormal para un espacio interno de producto. Como veremos más adelante, las bases ortonormales tienen muchas propiedades especiales que nos permiten simplificar diversos cálculos.

Definición 9.4.1. Dejar\(V \) ser un espacio interior de producto con producto interior\(\inner{\cdot}{\cdot}\). Una lista de vectores distintos de cero\((e_1,\ldots,e_m) \) en\(V\) se llama ortogonal si

\[ \inner{e_i}{e_j} = 0, \quad \text{for all} ~1\le i\neq j \le m. \]

La lista\((e_1,\ldots,e_m) \) se llama ortonormal si

\[ \inner{e_i}{e_j} = \delta_{i,j}, \quad \text{for all \(i,j=1,\ldots,m\),} \]

donde\(\delta_{ij} \) está el símbolo delta de Kronecker, es decir,\(\delta_{ij} = 1 \) si\(i=j \) y es cero en caso contrario.

Proposición 9.4.2. Cada lista ortogonal de vectores distintos de cero en\(V \) es linealmente independiente.

Comprobante. Dejar\((e_1,\ldots,e_m) \) ser una lista ortogonal de vectores en\(V\), y supongamos que\(a_1,\ldots,a_m\in \mathbb{F} \) son tales que

\[ a_1 e_1 + \cdots + a_m e_m =0. \]

Entonces

\ begin {ecuación*}
0 =\ norma {a_1 e_1 +\ cdots +a_m e_m} ^2
= |a_1|^2\ norma {e_1} ^2 +\ cdots + |a_m|^2\ norma {e_m} ^2
\ end {ecuación*}

Tenga en cuenta que\(\norm{e_k} >0\), para todos\(k=1,\ldots,m\), ya que cada\(e_k \) es un vector distinto de cero. También,\(|a_k|^2\ge 0\). De ahí que la única solución\(a_1 e_1 + \cdots + a_m e_m =0 \) sea\(a_1=\cdots=a_m=0\).

Definición 9.4.3. Una base ortonormal de un espacio de producto interior finito-dimensional\(V \) es una lista de vectores ortonormales que es la base para\(V\).

Claramente, cualquier lista ortonormal de longitud\(\dim(V) \) es una base ortonormal para\(V\) (para espacios vectoriales infinito-dimensionales se usa una noción ligeramente diferente de base ortonormal).

Ejemplo 9.4.4. La base canónica para\(\mathbb{F}^n \) es una base ortonormal.

Ejemplo 9.4.5. La lista\( \left((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}) \right) \) es una base ortonormal para\(\mathbb{R}^2\).

El siguiente teorema nos permite utilizar productos internos para encontrar los coeficientes de un vector\(v\in V \) en términos de una base ortonormal. Este resultado resalta lo fácil que es calcular con una base ortonormal.

Teorema 9.4.6. Dejar\((e_1,\ldots,e_n) \) ser una base ortonormal para\(V\). Entonces, para todos\(v\in V\), tenemos

\[ v = \inner{v}{e_1} e_1 + \cdots + \inner{v}{e_n} e_n \]

y\(\norm{v}^2 = \sum_{k=1}^n | \inner{v}{e_k}|^2\).

Comprobante. Vamos\(v\in V\). Ya que\((e_1,\ldots, e_n) \) es una base para\(V\), existen escalares únicos\(a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{F} \) tales que

\[ v = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n. \]

Tomando el producto interno de ambos lados con respecto a\(e_k \) entonces rinde\(\inner{v}{e_k} = a_k\).

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