9.5: El procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt

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Llegamos ahora a un algoritmo fundamentalmente importante, que se llama el procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt. Este algoritmo permite construir, para cada lista de vectores linealmente independientes (resp. basis), una lista ortonormal correspondiente (resp. base ortonormal).

Teorema 9.5.1

Si\((v_1,\ldots,v_m) \) hay una lista de vectores linealmente independientes en\(V\), entonces existe una lista ortonormal\((e_1,\ldots,e_m) \) tal que

\[ \Span(v_1,\ldots,v_k) = \Span(e_1,\ldots,e_k), \quad \text{for all \(k=1,\ldots,m\).} \label{9.5.1} \]

Prueba

La prueba es constructiva, es decir, en realidad construiremos vectores\(e_1,\ldots,e_m \) que tengan las propiedades deseadas. Ya que\((v_1,\ldots,v_m) \) es linealmente independiente,\(v_k\neq 0 \) para cada uno\(k=1,2,\ldots,m\). Set\(e_1=\frac{v_1}{\norm{v_1}}\). Entonces\(e_{1} \) es un vector de norma 1 y satisface la Ecuación (9.5.1) para\(k=1\). Siguiente, set

\ [\ begin {ecuación*}
e_2 =\ frac {v_2 -\ inner {v_2} {e_1} e_1} {\ norm {v_2 -\ inner {v_2} {e_1} e_1}}.
\ end {ecuación*}\]

Esta es, de hecho, la versión normalizada de la ecuación de descomposición ortogonal (9.3.1) ~\ eqref {eq:ortogonal decomp}. Es decir,

\ [\ comenzar {ecuación*}
w = v_2 -\ interior {v_2} {e_1} e_1,
\ final {ecuación*}\]

donde\(w\bot e_1\). Tenga en cuenta que\(\norm{e_2}=1 \) y\(\Span(e_1,e_2)=\Span(v_1,v_2)\).

Ahora bien, supongamos que se\(e_1,\ldots,e_{k-1} \) han construido tal que\((e_1,\ldots,e_{k-1})\) es una lista ortonormal y\(\Span(v_1,\ldots,v_{k-1}) = \Span(e_1,\ldots,e_{k-1})\). Luego define
\ [\ begin {ecuación*}
e_k =\ frac {v_k -\ interior {v_k} {e_1} e_1 -\ interior {v_k} {e_2} e_2 -\ cdots -\ interior {v_k} {e_ {k-1}} e_ {k-1}}
{\ norm {v_k -\ inner {v_k} {e_1} e_1 -\ interior {v_k} {e_2} e_2 -\ cdots -\ interior {v_k} {e_ {k-1}} e_ {k-1}}.
\ end {ecuación*}\]

Ya que\((v_1,\ldots,v_k) \) es linealmente independiente, eso lo sabemos\(v_k\not\in \Span(v_1,\ldots,v_{k-1})\). De ahí que también lo sepamos\(v_k\not\in \Span(e_1,\ldots,e_{k-1})\). De ello se deduce que la norma en la definición de no\(e_k \) es cero, y así\(e_k \) está bien definida (es decir, no estamos dividiendo por cero). Obsérvese que un vector dividido por su norma tiene la norma 1 así que eso\(\norm{e_k}=1\). Además,

\ [\ comenzar {ecuación*}
\ comenzar {dividir}
\ interior {e_k} {e_i} &=\ izquierda\ langle\ frac {v_k -\ interior {v_k} {e_1} e_1 -\ interior {v_k} {e_2} e_2 -\ cdots
-\ interior {v_k} {e_ {k-1}} e_ {k-1}}
\ norma {v_k -\ interior {v_k} {e_1} e_1 -\ interior {v_k} {e_2} e_2 -\ cdots -\ interior {v_k} {e_ {k-1}} e _ {k-1}}},
e_i\ derecha\ rangle\\
&=\ frac {\ interior {v_k} {e_i} -\ interior {v_k} {e_i}}
{\ norma {v_k -\ interior {v_k} {e_1} e_1 -\ interior {v_k} {e_2} e_2 -\ cdots -\ interior {v_k} {e_ {k-1}} e_ {k-1}}} =0,
\ end {split}
\ end {ecuación*}\]

para cada uno\(1\le i<k\). De ahí\((e_1,\ldots,e_k) \) que sea ortonormal.

\(\square\)

De la definición de\(e_k\), vemos eso\(v_k\in \Span(e_1,\ldots,e_k) \) para que\(\Span(v_1,\ldots,v_k) \subset \Span(e_1,\ldots,e_k)\). Dado que ambas listas\((e_1,\ldots,e_k) \) y\((v_1,\ldots,v_k) \) son linealmente independientes, deben ocupar subespacios de la misma dimensión y por lo tanto son el mismo subespacio. De ahí que la Ecuación (9.5.1) se mantenga.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Tomar\(v_1=(1,1,0) \) y\(v_2=(2,1,1) \) entrar\(\mathbb{R}^3\). La lista\((v_1,v_2) \) es linealmente independiente (¡como debes verificar!). Para ilustrar el procedimiento de Gram-Schmidt, comenzamos por establecer
\ [\ begin {ecuation*}
e_1 =\ frac {v_1} {\ norm {v_1}} =\ frac {1} {\ sqrt {2}} (1,1,0).
\ end {ecuación*}\]
A continuación, establece
\ [\ begin {ecuación*}
e_2 =\ frac {v_2 -\ inner {v_2} {e_1} e_1} {\ norm {v_2 -\ inner {v_2} {e_1} e_1}}.
\ end {ecuación*}\]
El producto interno\(\inner{v_2}{e_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\inner{(1,1,0)}{(2,1,1)}=\frac{3}{\sqrt{2}}\),
así que
\ [\ begin {ecuación*}
u_2 = v_2 -\ inner {v_2} {e_1} e_1 = (2,1,1) -\ frac {3} {2} (1,1,0) =\ frac {1} {2} (1, -1,2).
\ end {equation*}\]
Calculando la norma de\(u_2\), obtenemos\(\norm{u_2}=\sqrt{\frac{1}{4}(1+1+4)} = \frac{\sqrt{6}}{2}\).
De ahí, normalizando este vector, obtenemos
\ [\ begin {ecuación*}
e_2 =\ frac {u_2} {\ norm {u_2}} =\ frac {1} {\ sqrt {6}} (1, -1,2).
\ end {equation*}\]
La lista\((e_1,e_2) \) es por lo tanto ortonormal y tiene el mismo lapso que\((v_1,v_2)\).

Corolario 9.5.3.

Cada espacio de producto interior de dimensiones finitas tiene una base ortonormal.

Prueba

Dejar\((v_1,\ldots,v_n) \) ser cualquier base para\(V\). Esta lista es linealmente independiente y abarca\(V\). Aplicar el procedimiento Gram-Schmidt a esta lista para obtener una lista ortonormal\((e_1,\ldots,e_n)\), que aún abarca\(V \) por construcción. Por Proposición9.4.2~\ ref {prop:orth li}, esta lista es linealmente independiente y de ahí una base de\(V\).

Corolario 9.5.4.

Cada lista ortonormal de vectores en se\(V \) puede extender a una base ortonormal de\(V\).

Prueba

Dejar\((e_1,\ldots,e_m) \) ser una lista ortonormal de vectores en\(V\). Por Proposición9.4.2~\ ref {prop:orth li}, esta lista es linealmente independiente y por lo tanto puede extenderse a una base\((e_1,\ldots,e_m,v_1,\ldots,v_k) \) de\(V \) por el Teorema de Extensión de Bases. Ahora aplique el procedimiento Gram-Schmidt para obtener una nueva base ortonormal\((e_1,\ldots,e_m,f_1,\ldots,f_k)\). Los primeros\(m \) vectores no cambian ya que ya son ortonormales. La lista aún abarca\(V \) y es linealmente independiente por la Proposición9.4.2~\ ref {prop:orth li} y por lo tanto forma una base.

Remall Theorem7.5.3~\ ref {THM:ComplexLineArmapSupperTriangularWrtSomeBasis}: dado un operador\(T \in \mathcal{L}(V, V) \) en un espacio vectorial complejo\(V\), existe una base\(B \) para\(V\) tal que la matriz\(M(T)\) de\(T\) con respecto a\(B \) es triangular superior. Nos gustaría extender este resultado para requerir la propiedad adicional de ortonormalidad.

Corolario 9.5.5

Deje\(V \) ser un espacio interior del producto sobre\(\mathbb{F} \) y\(T\in\mathcal{L}(V,V)\). Si\(T \) es superior-triangular con respecto a alguna base, entonces\(T \) es superior-triangular con respecto a alguna base ortonormal.

Prueba

Dejar\((v_1,\ldots,v_n) \) ser una base de\(V \) con respecto a la cual\(T \) es superior-triangular. Aplicar el procedimiento de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal\((e_1,\ldots,e_n)\), y anotar que

\[ \Span(e_1,\ldots,e_k) = \Span(v_1,\ldots,v_k), \quad \text{for all \(1\le k\le n\).} \]

Antes probamos que\(T \) es superior-triangular con respecto a una base\((v_1,\ldots,v_n) \) si y solo si\(\Span(v_1,\ldots,v_k) \) es invariante bajo\(T \) para cada uno\(1\le k\le n\). Dado que estos tramos no han cambiado por el procedimiento de Gram-Schmidt,\(T \) sigue siendo triangular superior para la base ortonormal correspondiente.

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