9.E: Ejercicios para el Capítulo 9

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Ejercicios de cálculo

1. \( (e_1 , e_2 , e_3) \)Sea la base canónica de\( \mathbb{R^3} \), y define
\[ f_1 = e_1 + e_2 + e_3, ~~~~~~~~~f_2 = e_2 + e_3, ~~~~~~~~~f_3 = e_3 . \]
(a) Aplicar el proceso Gram-Schmidt a la base\( (f_1 , f_2 , f_3) \).
b) ¿Qué obtiene si en su lugar aplicó el proceso Gram-Schmidt a la base\( (f_3 , f_2 , f_1) \)?

2. Dejar\( C[−\pi, \pi] = \{f : [−\pi, \pi] \rightarrow R \mid f ~\rm{is~ continuous}\} \) denotar el espacio interno del producto de funciones continuas de valor real definidas en el intervalo\( [−\pi, \pi] \subset R\), con el producto interno dado por

\[ \inner{f}{g} = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)dx, ~\rm{for~every} ~ f,g \in C[-\pi,\pi]. \]

Luego, dado cualquier entero positivo\( n \in \mathbb{Z_+} \), verificar que el conjunto de vectores

\[ \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{sin(x)}{\sqrt{\pi}}, \frac{sin(2x)}{\sqrt{\pi}}, \ldots , \frac{sin(nx)}{\sqrt{\pi}}, \frac{cos(x)}{\sqrt{\pi}}, \frac{cos(2x)}{\sqrt{\pi}}, \ldots, \frac{cos(nx)}{\sqrt{\pi}} \right\} \]es ortonormal.

3. Dejar\( \mathbb{R_2}[x] \) denotar el espacio interno del producto de polinomios sobre\(\mathbb{R}\) tener grado como máximo dos, con producto interno dado por

\[ \inner{f}{g} = \int_{0}^{1} f(x)g(x)dx, ~\rm{for~every} ~ f,g \in \mathbb{R_2}[x] . \]

Aplicar el procedimiento Gram-Schmidt a la base estándar\(\{1, x, x^2 \} \) para\(\mathbb{R_2}[x] \) producir una base ortonormal para\(\mathbb{R_2}[x]\).

4. \(v_1 , v_2 , v_3 \in \mathbb{R^3}\)Déjese dar por\(v_1 = (1, 2, 1), v_2 = (1, −2, 1)\), y\(v_3 = (1, 2, −1)\).
Aplicar el procedimiento Gram-Schmidt a la base\((v_1 , v_2 , v_3 ) \) de\(\mathbb{R^3}\), y llamar a la base ortonormal resultante\((u_1 , u_2, u_3)\).

5. Dejar\(P \subset \mathbb{R^3} \) ser el plano que contiene 0 perpendicular al vector\((1, 1, 1)\). Usando la norma estándar, calcule la distancia del punto\((1, 2, 3)\) a\(P\).

6. Dar una base ortonormal para\(null(T )\), dónde\(T \in \cal L(\mathbb{C^4} ) \) está el mapa con matriz canónica

\[ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \]

Ejercicios de prueba de escritura

1. Dejar\(V\) ser un espacio de producto interior de finito-dimensional sobre\( \mathbb{F}\). Dado cualquier vector\(u, v \in V\), probar que las siguientes dos declaraciones son equivalentes:

\( (a) \inner{u}{v} = 0 \)

\((b) \norm{u} \leq \norm{u + \alpha v}\)para cada\(\alpha \in \mathbb{F} \).

2. Dejar\(n \in \mathbb{Z_+}\) ser un entero positivo, y dejar\(a_1 , \ldots , a_n , b_1 , \ldots , b_n \in \mathbb{R} \) ser cualquier colección de números\(2n\) reales. Demostrar que

\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n ka_{k}^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n \frac{b_k^2}{k} \right) \]

3. Demostrar o desacreditar el siguiente
reclamo: Reclamación. Hay un producto interno\( \inner{\cdot}{\cdot}\) en\(\mathbb{R^2}\) cuya norma asociada\(\norm{\cdot}\) viene dada por la fórmula
\[ \norm{(x_1 , x_2 )} = |x_1| + |x_2 | \]
para cada vector\( (x_1 , x_2 ) \in \mathbb{R^2}\), donde\( | \cdot | \) denota el función de valor absoluto en\( \mathbb{R} \).


4. Dejar\(V\) ser un espacio de producto interior de finito-dimensional sobre\(\mathbb{R}\). Dado\( u, v \in V \), demostrar que
\[ \inner{u}{v} = \frac{ \norm{u+v}^2 - \norm{u-v}^2}{ 4}\]

5. Dejar\(V\) ser un espacio de producto interior de finito-dimensional sobre\(\mathbb{C}\). Dado\( u, v \in V\), demostrar que

\[ \inner{u}{v} = \frac{ \norm{u+v}^2 - \norm{u-v}^2}{ 4} + \frac{ \norm{u+iv}^2 - \norm{u-iv}^2}{ 4}i.\]

6. Deje que V sea un espacio de producto interior de finito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\), y deje\(U\) ser un subespacio de\(V\). Demostrar que el complemento ortogonal\(U^\perp\) de\(U\) con respecto al producto interno\( \inner{\cdot}{\cdot}\)\(V\) en satisface

\[ dim(U^\perp ) = dim(V ) − dim(U).\]

7. Dejar\(V\) ser un espacio de producto interior finito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\), y dejar\(U\) ser un subespacio de\(V\). Demostrar que\(U = V\) si y sólo si el complemento ortogonal\(U^\perp\) de\(U\) con respecto al producto interno\(\inner{\cdot}{\cdot}\)\(V\) en satisface\(U^\perp = \{0\}\).

8. Dejar\(V\) ser un espacio de producto interior finito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\), y supongamos que\(P \in \cal{L}(V) \) es un operador lineal al\(V\) tener las siguientes dos propiedades:

(a) Dado cualquier vector\(v \in V , P (P(v)) = P (v)\). Es decir,\(P^2 = P\).

b) Dado cualquier vector\(u \in null(P) \) y cualquier vector\(v \in range(P ), \inner{u}{v} = 0\).

Demostrar que\(P\) es una proyección ortogonal.

9. Probar o dar un contraejemplo: Para cualquiera\(n \geq 1\) y\(A \in \mathbb{C}^{n \times n} \), uno tiene

\[null(A) = (range(A))^\perp .\]

10. Probar o dar un contraejemplo: El proceso Gram-Schmidt aplicado a una lista ortonormal de vectores reproduce esa lista sin cambios.

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