11.7: Descomposición de valor único
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La descomposición de valor único generaliza la noción de diagonalización. Diagonalizar unitariamente\(T\in \mathcal{L}(V)\) significa encontrar una base ortonormal\(e\) tal que\(T\) sea diagonal respecto a esta base, es decir,
\[ M(T;e,e)= [T]_e = \begin{bmatrix} \lambda_1 && 0\\ &\ddots&\\ 0 && \lambda_n \end{bmatrix}, \]
donde la notación\(M(T;e,e)\) indica que la base\(e\) se usa tanto para el dominio como para el codominio de\(T\). El Teorema Espectral nos dice que la diagonalización unitaria solo se puede hacer para operadores normales. En general, podemos encontrar dos bases ortonormales\(e\) y\(f\) tales que
\[ M(T;e,f) = \begin{bmatrix} s_1 && 0\\ &\ddots&\\ 0 && s_n \end{bmatrix}, \]
lo que significa que\(Te_i = s_i f_i\) aunque no\(T\) sea normal. Los escalares\(s_i\) se denominan valores singulares de\(T\). Si\(T\) es diagonalizable, entonces estos son los valores absolutos de los valores propios.
Teorema 11.7.1
Todos\(T\in \mathcal{L}(V)\) tienen una descomposición de valor único. Es decir, existen bases ortonormales\(e=(e_1,\ldots,e_n)\) y\(f=(f_1,\ldots,f_n)\) tales que
\[ Tv = s_1 \inner{v}{e_1} f_1 + \cdots + s_n \inner{v}{e_n} f_n, \]
donde\(s_i\) están los valores singulares de\(T\).
Prueba
Ya que\(|T|\ge 0\), también es autoadjoint. Así, por el Teorema Espectral, existe una base ortonormal\(e=(e_1,\ldots,e_n)\) para\(V\) tal que\(|T|e_i = s_i e_i\). Dejar\(U\) ser la matriz unitaria en la descomposición polar de\(T\). Como\(e\) es ortonormal, podemos escribir cualquier vector\(v\in V\) como
\ begin {ecuación*}
v =\ interior {v} {e_1} e_1 +\ cdots +\ interior {v} {e_n} e_n,
\ end {ecuación*}
y por lo tanto
\ begin {ecuación*}
Tv = U|T| v = s_1\ inner {v} {e_1} Ue_1 +\ cdots + s_n\ inner {v} {e_n} UE_n.
\ end {ecuación*}
Ahora listo\(f_i = U e_i\) para todos\(1\le i\le n\). Dado que\(U\) es unitario, también\((f_1,\ldots,f_n)\) es una base ortonormal, demostrando el teorema.
\(\square\)