11.E: Ejercicios para el Capítulo 11

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Ejercicios de cálculo

1. Considerar\( \mathbb{R}^3 \) con dos bases ortonormales: la base canónica\( e = (e_1 , e_2 , e_3) \) y la base\(f = (f_1 , f_2 , f_3) \), donde
\[ f1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), f_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1), f_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1). \]

Encuentra la matriz canónica, A, del mapa lineal\(T \in \cal{L}(\mathbb{R}^3) \) con vectores propios\(f_1 , f_2 , f_3 \) y valores propios 1, 1/2, −1/2, respectivamente.

2. Para cada una de las siguientes matrices, verificar que\(A\) es hermitiano mostrando eso\(A = A^*\), encontrar una matriz unitaria\(U\) tal que\(U^{−1}AU\) sea una matriz diagonal, y compute\(exp(A)\).
\[ (a)~ A = \left[ \begin{array}{cc} 4 & 1-i \\ 1+i & 5 \end{array} \right] ~~ (b)~A = \left[ \begin{array}{cc} 3 & -i \\ i & 3 \end{array} \right] ~~ (c)~A = \left[ \begin{array}{cc} 6 & 2+2i \\ 2-2i & 4 \end{array} \right]\]
\[ (d)~A = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 3+i \\ 3-i & -3 \end{array} \right] ~~ (e)~ A = \left[ \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1+i \\ 0 & -1-i & 0 \end{array} \right] ~~ (f)~ A = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{-i}{\sqrt{2}} \\ \frac{-i}{\sqrt{2}} & 2 & 0 \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & 0 & 2 \end{array} \right] \]

3. Para cada una de las siguientes matrices, o bien encontrar una matriz\(P\) (no necesariamente unitaria) tal que\(P^{−1}AP\) sea una matriz diagonal, o mostrar por qué no existe tal matriz.

\[ (a)~ A = \left[ \begin{array}{ccc} 19 & -9 & -6 \\ 25 & -11 & -9 \\ 17 & -9 & -4 \end{array} \right] ~~ (b)~A = \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 4 & -2 \\ -3 & 4 & 0 \\ -3 & 1 & 3 \end{array} \right] ~~ (c)~A = \left[ \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{array} \right]\]

\[ (d)~ A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array} \right] ~~ (e)~A = \left[ \begin{array}{ccc} -i & 1 & 1 \\ -i & 1 & 1 \\ -i & 1 & 1 \end{array} \right] ~~ (f)~A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & i \\ 4 & 0 & i \\ 0 & 0 & i \end{array} \right]\]

4. Dejar\(r \in \mathbb{R}\) y dejar\(T \in \cal{L}(\mathbb{C}^2)\) ser el mapa lineal con matriz canónica

\[ T = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & r \end{array} \right) \]
(a) Encontrar los valores propios de\(T\).
(b) Encontrar una base ortonormal\( \mathbb{C}^2\) consistente en vectores propios de\(T\).
(c) Encontrar una matriz unitaria\(U\) tal que\(UT U^*\) sea diagonal.

5. Dejar\(A\) ser la matriz compleja dada por:
\[ A = \left[ \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1+i \\ 0 & -1-i & 0 \end{array} \right]\]
(a) Encontrar los valores propios de\(A\).
(b) Encontrar una base ortonormal de vectores propios de\(A\).
(c) Calcular\(|A| = \sqrt{A^*A}\).
d) Calcular\(e^A\).

6. Dejar\(θ \in \mathbb{R}\), y dejar\(T \in \cal{L}(\mathbb{C}^2) \) tener matriz canónica
\[ M(T ) = \left( \begin{array}{cc} 1 & e^{i\theta} \\ e^{-i\theta} & -1 \end{array} \right). \]
(a) Encontrar los valores propios de\(T\).
(b) Encontrar una base ortonormal para\(\mathbb{C}^2\) que consista en vectores propios para\(T\).

Ejercicios de prueba de escritura

1. Probar o dar un contraejemplo: El producto de cualquiera de dos operadores autounidos en un espacio vectorial de finito-dimensional es uno mismo-adjunto.

2. Probar o dar un contraejemplo: Toda matriz unitaria es invertible.

3. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial finito-dimensional sobre\( \mathbb{F}\), y supongamos\(T \in \cal{L}(V)\) que satisface\(T^2 = T\). Demostrar que\(T\) es una proyección ortogonal si y sólo si\(T\) es autoadjoint.

4. Dejar\(V\) ser un espacio de producto interior finito-dimensional sobre\( \mathbb{C}\), y supongamos que\(T \in \cal{L}(V)\) tiene la propiedad de que\(T^* = −T \). (Llamamos a T un operador hermitiano sesgado en\(V\).)
a) Demostrar que el operador\(iT \in \cal{L}(V)\) deﬁnado por\((iT )(v) = i(T (v))\), para cada uno\(v \in V\), es hermitiano.
b) Demostrar que la matriz canónica para\(T\) puede ser diagonalizada unitariamente.
(c) Demostrar que\(T\) tiene valores propios puramente imaginarios.

5. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\), y supongamos que\(S, T \in \cal{L}(V)\) son operadores positivos en\(V\). Demostrar que también\(S + T\) es un operador positivo en\(T\).

6. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de ﬁnito-dimensional sobre\(\mathbb{F}\), y dejar que\(T \in \cal{L}(V)\) sea cualquier operador encendido\(V\). Demostrar que\(T\) es invertible si y sólo si 0 no es un valor singular de\(T\).

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