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LibreTexts Español

3.4: Espacio Nulo Izquierdo

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Si uno entiende el concepto de un espacio nulo, el espacio nulo izquierdo es extremadamente fácil de entender.

Definición: Espacio Nulo Izquierdo

El Espacio Nulo Izquierdo de una matriz es el espacio nulo de su transpuesta, es decir,

N(AT)={yRm|ATy=0}

La palabra “izquierda” en este contexto deriva del hecho de queATy=0 equivale ayTA=0 dondey “actúa” sobre A desde la izquierda.

Ejemplo

ComoAred fue la clave para identificar el espacio nulo de A, veremos queATred es la clave del espacio nulo deAT. Si

A=(111213)

entonces

AT=(111123)

y así

ATred=(111012)

ResolvemosATred=0 reconociendo quey1 yy2 son variables pivotes mientras quey3 es libre. ResolviendoATredy=0 para el pivote en cuanto a lo libre que encontramosy2=(2y3) yy1=y3 por lo tanto

N(AT)={y3(121)|y3R}

Encontrar una base para el espacio nulo izquierdo

El procedimiento no es diferente al utilizado para calcular el espacio nulo de la propia A. De hecho

Definición: Una base para el espacio nulo izquierdo

Supongamos queAT es n-por-m con índices de pivote{cj|j={1,,r}} e índices libres{cj|j={r+1,,n}}. Una base para seN(AT) puede construir demr vectores{z1,z2,,zmr} dondezk y solozk, posee un distinto de cero en sucr+k componente.


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