3.4: Espacio Nulo Izquierdo

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Si uno entiende el concepto de un espacio nulo, el espacio nulo izquierdo es extremadamente fácil de entender.

Definición: Espacio Nulo Izquierdo

El Espacio Nulo Izquierdo de una matriz es el espacio nulo de su transpuesta, es decir,

\[\mathcal{N}(A^T) = \{ \textbf{y} \in \mathbb{R}^{m} | A^{T} \textbf{y} = 0\} \nonumber\]

La palabra “izquierda” en este contexto deriva del hecho de que\(A^{T} \textbf{y} = 0\) equivale a\(\textbf{y}^{T} A = 0\) donde\(\textbf{y}\) “actúa” sobre A desde la izquierda.

Ejemplo

Como\(A_{red}\) fue la clave para identificar el espacio nulo de A, veremos que\(A^{T}_{red}\) es la clave del espacio nulo de\(A^T\). Si

\[A = \begin{pmatrix} {1}&{1}\\ {1}&{2}\\ {1}&{3} \end{pmatrix} \nonumber\]

entonces

\[A^{T} = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}\\ {1}&{2}&{3} \end{pmatrix} \nonumber\]

y así

\[A^{T}_{red} = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}\\ {0}&{1}&{2} \end{pmatrix} \nonumber\]

Resolvemos\(A^{T}_{red} = 0\) reconociendo que\(y_{1}\) y\(y_{2}\) son variables pivotes mientras que\(y_{3}\) es libre. Resolviendo\(A^{T}_{red} \textbf{y} = 0\) para el pivote en cuanto a lo libre que encontramos\(y_{2} = -(2y_{3})\) y\(y_{1} = y_{3}\) por lo tanto

\[\mathcal{N}(A^{T}) = \begin{equation} \left \{ y_{3} \begin{pmatrix} {1}\\ {-2}\\ {1} \end{pmatrix} | y_{3} \in \mathbb{R} \right \} \end{equation} \nonumber\]

Encontrar una base para el espacio nulo izquierdo

El procedimiento no es diferente al utilizado para calcular el espacio nulo de la propia A. De hecho

Definición: Una base para el espacio nulo izquierdo

Supongamos que\(A^{T}\) es n-por-m con índices de pivote\(\{c_{j} | j = \{1, \cdots, r\}\}\) e índices libres\(\{c_{j} | j = \{r+1, \cdots, n\}\}\). Una base para se\(\mathcal{N}(A^T)\) puede construir de\(m-r\) vectores\(\{z^{1}, z^{2}, \cdots, z^{m-r}\}\) donde\(z^{k}\) y solo\(z^k\), posee un distinto de cero en su\(c_{r+k}\) componente.