3.4: Espacio Nulo Izquierdo
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Si uno entiende el concepto de un espacio nulo, el espacio nulo izquierdo es extremadamente fácil de entender.
El Espacio Nulo Izquierdo de una matriz es el espacio nulo de su transpuesta, es decir,
N(AT)={y∈Rm|ATy=0}
La palabra “izquierda” en este contexto deriva del hecho de queATy=0 equivale ayTA=0 dondey “actúa” sobre A desde la izquierda.
Ejemplo
ComoAred fue la clave para identificar el espacio nulo de A, veremos queATred es la clave del espacio nulo deAT. Si
A=(111213)
entonces
AT=(111123)
y así
ATred=(111012)
ResolvemosATred=0 reconociendo quey1 yy2 son variables pivotes mientras quey3 es libre. ResolviendoATredy=0 para el pivote en cuanto a lo libre que encontramosy2=−(2y3) yy1=y3 por lo tanto
N(AT)={y3(1−21)|y3∈R}
Encontrar una base para el espacio nulo izquierdo
El procedimiento no es diferente al utilizado para calcular el espacio nulo de la propia A. De hecho
Supongamos queAT es n-por-m con índices de pivote{cj|j={1,⋯,r}} e índices libres{cj|j={r+1,⋯,n}}. Una base para seN(AT) puede construir dem−r vectores{z1,z2,⋯,zm−r} dondezk y solozk, posee un distinto de cero en sucr+k componente.