3.8: Suplementos - Subespacios

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Subespacio

Un subespacio es un subconjunto de un espacio vectorial que es en sí mismo un espacio vectorial. El ejemplo más simple es una línea que atraviesa el origen en el plano. Para la línea es definitivamente un subconjunto y si agregamos dos vectores cualesquiera en la línea permanecemos en la línea y si multiplicamos cualquier vector en la línea por un escalar permanecemos en la línea. Lo mismo podría decirse de una línea o plano a través del origen en 3 espacios. Como vamos a estar viajando en espacios con muchas muchas dimensiones se paga tener una definición general.

Definición: Subspace

Un subconjunto\(S\) de un espacio vectorial\(V\) es un subespacio de\(V\) cuando

si\(x\) y\(y\) pertenecer a\(S\) entonces también lo hace\(x+y\)
si\(x\) pertenece\(S\) y\(t\) es real entonces\(tx\) pertenecer a\(S\)

Como estos son a menudo objetos difíciles de manejo, vale la paga buscar un puñado de vectores a partir de los cuales se pueda generar todo el subconjunto. Por ejemplo, el conjunto de\(x\) para el cual\(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 0\) constituye un subespacio de\(\mathbb{R}^{4}\). ¿Puedes 'ver' este set? ¿Usted 've' que

\[\begin{pmatrix} {-1}\\ {1}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[\begin{pmatrix} {-1}\\ {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[\begin{pmatrix} {-1}\\ {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} \nonumber\]

no sólo pertenecen a un conjunto sino que de hecho generan todos los elementos posibles? Más precisamente, decimos que estos vectores abarcan el subespacio de todas las soluciones posibles.

Definición: Span

Se dice que una colección finita\(\{s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n}\}\) de vectores en el subespacio\(S\) abarca\(S\) si cada elemento de\(S\) puede escribirse como una combinación lineal de estos vectores. Es decir, si por cada uno\(s \in S\) existen nn reales\(\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}\) tales que\(s = x_{1}s_{1}+x_{2}s_{2}+ \cdots +x_{n}s_{n}\).

Al intentar generar un subespacio como el lapso de un puñado de vectores es natural preguntarse cuál es el menor número posible. La noción de independencia lineal nos ayuda a aclarar esta cuestión.

Definición: Independencia lineal

Se dice que una colección finita\(\{s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n}\}\) de vectores es linealmente independiente cuando los únicos reales,\(\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}\) para los cuales\(x_{1}+x_{2} + \cdots+x_{n} = 0\) son\(x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = 0\) En otras palabras, cuando el espacio nulo de la matriz cuyas columnas son\(\{s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n}\}\) contiene solo el vector cero.

Combinando estas definiciones, llegamos a la noción precisa de un 'conjunto generador'.

Definición: Bases

Cualquier conjunto de extensión linealmente independiente de un subespacio\(S\) se llama base de\(S\)

Aunque un subespacio puede tener muchas bases, todas tienen una cosa en común:

Definición: Dimensión

La dimensión de un subespacio es el número de elementos en su base.