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3.9: Suplementos - Forma Reducida en Fila

Última actualización

30 oct 2022
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- 3.8: Suplementos - Subespacios
- 4: Mínimos Cuadrados

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$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

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$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

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$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

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$\newcommand{\amp}{&}$

$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Reducción de Fila

Un objetivo central de la ciencia y la ingeniería es reducir la complejidad de un modelo sin sacrificar su integridad. Aplicado a las matrices, este objetivo sugiere que intentamos eliminar elementos distintos de cero y así 'desacoplar' las filas. Para conservar su integridad la eliminación debe obedecer dos reglas simples.

Operaciones de Fila Primaria

Puede intercambiar dos filas cualesquiera.
Puede agregar a una fila un múltiplo constante de otra fila.

Con estas dos operaciones elementales uno puede eliminar sistemáticamente todos los nonceros por debajo de la diagonal. Por ejemplo, dado

$\begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ {1}&{2}&{3}&{4} \end{pmatrix} \nonumber$

parece prudente intercambiar la primera y cuarta filas y así llegar a

$\begin{pmatrix} {1}&{2}&{3}&{4}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber$

agregar la primera fila a la tercera ahora produce

$\begin{pmatrix} {1}&{2}&{3}&{4}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{2}&{4}&{4}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber$

restando el doble de la segunda fila de los terceros rendimientos

$\begin{pmatrix} {1}&{2}&{3}&{4}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{4}&{4}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber$

una matriz con ceros por debajo de su diagonal. Este procedimiento no se limita a las matrices cuadradas. Por ejemplo, dado

$\begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}&{1}\\ {2}&{4}&{4}&{2}\\ {3}&{5}&{5}&{3} \end{pmatrix} \nonumber$

empezamos en la parte inferior izquierda luego nos movemos hacia arriba y hacia la derecha. A saber, restamos 3 veces la primera fila de la tercera y llegamos a

$\begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}&{1}\\ {2}&{4}&{4}&{2}\\ {0}&{2}&{2}&{0} \end{pmatrix} \nonumber$

y luego restar dos veces la primera fila de la segunda,

$\begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}&{1}\\ {0}&{2}&{2}&{0}\\ {0}&{2}&{2}&{0} \end{pmatrix} \nonumber$

y finalmente restar la segunda fila de la tercera,

$\begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}&{1}\\ {0}&{2}&{2}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber$

Ayuda a etiquetar las matrices antes y después.

Definición: La Forma Reducida de Fila

Dada la matriz $A$ aplicamos operaciones elementales de fila hasta que se elimine cada uno distinto de cero por debajo de la diagonal. Nos referimos a la matriz resultante como $A_{red}$ .

Unicidad y pivotes

Al existir cierta flexibilidad en la forma en que se lleva a cabo la reducción se debe admitir que la forma reducida no es única. Es decir, dos personas pueden comenzar con la misma matriz pero llegar a diferentes formas reducidas. Las diferencias sin embargo son menores, ya que ambas tendrán el mismo número de filas distintas de cero y los nonceros a lo largo de la diagonal seguirán el mismo patrón. Capturamos este patrón con el siguiente conjunto de definiciones,

Definición: Pivot Row

Cada fila distinta de cero de $A_{red}$ se llama fila de pivote.

Definición: Pivot

El primer término distinto de cero en cada fila de $A_{red}$ se llama pivote.

Definición: Columna Pivot

Cada columna $A_{red}$ que contiene un pivote se llama columna pivotante.

Definición: Rango

El número de pivotes en una matriz se llama el rango de esa matriz.

En cuanto a nuestras matrices de ejemplo, la primera tiene rango 4 y la segunda tiene rango 2.

Reducción de filas en MATLAB

El comando rref de MATLAB va de inclinación completa e intenta eliminar TODOS los términos diagonales y no dejar nada más que unos en la diagonal. Te recomiendo probarlo en nuestros dos ejemplos. Puedes ver sus decisiones individuales usando rrefmovie en su lugar.