3.9: Suplementos - Forma Reducida en Fila
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Un objetivo central de la ciencia y la ingeniería es reducir la complejidad de un modelo sin sacrificar su integridad. Aplicado a las matrices, este objetivo sugiere que intentamos eliminar elementos distintos de cero y así 'desacoplar' las filas. Para conservar su integridad la eliminación debe obedecer dos reglas simples.
- Puede intercambiar dos filas cualesquiera.
- Puede agregar a una fila un múltiplo constante de otra fila.
Con estas dos operaciones elementales uno puede eliminar sistemáticamente todos los nonceros por debajo de la diagonal. Por ejemplo, dado
\[\begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ {1}&{2}&{3}&{4} \end{pmatrix} \nonumber\]
parece prudente intercambiar la primera y cuarta filas y así llegar a
\[\begin{pmatrix} {1}&{2}&{3}&{4}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {-1}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]
agregar la primera fila a la tercera ahora produce
\[\begin{pmatrix} {1}&{2}&{3}&{4}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{2}&{4}&{4}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]
restando el doble de la segunda fila de los terceros rendimientos
\[\begin{pmatrix} {1}&{2}&{3}&{4}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{4}&{4}\\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]
una matriz con ceros por debajo de su diagonal. Este procedimiento no se limita a las matrices cuadradas. Por ejemplo, dado
\[\begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}&{1}\\ {2}&{4}&{4}&{2}\\ {3}&{5}&{5}&{3} \end{pmatrix} \nonumber\]
empezamos en la parte inferior izquierda luego nos movemos hacia arriba y hacia la derecha. A saber, restamos 3 veces la primera fila de la tercera y llegamos a
\[\begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}&{1}\\ {2}&{4}&{4}&{2}\\ {0}&{2}&{2}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]
y luego restar dos veces la primera fila de la segunda,
\[\begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}&{1}\\ {0}&{2}&{2}&{0}\\ {0}&{2}&{2}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]
y finalmente restar la segunda fila de la tercera,
\[\begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}&{1}\\ {0}&{2}&{2}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]
Ayuda a etiquetar las matrices antes y después.
Dada la matriz\(A\) aplicamos operaciones elementales de fila hasta que se elimine cada uno distinto de cero por debajo de la diagonal. Nos referimos a la matriz resultante como\(A_{red}\).
Unicidad y pivotes
Al existir cierta flexibilidad en la forma en que se lleva a cabo la reducción se debe admitir que la forma reducida no es única. Es decir, dos personas pueden comenzar con la misma matriz pero llegar a diferentes formas reducidas. Las diferencias sin embargo son menores, ya que ambas tendrán el mismo número de filas distintas de cero y los nonceros a lo largo de la diagonal seguirán el mismo patrón. Capturamos este patrón con el siguiente conjunto de definiciones,
Cada fila distinta de cero de\(A_{red}\) se llama fila de pivote.
El primer término distinto de cero en cada fila de\(A_{red}\) se llama pivote.
Cada columna\(A_{red}\) que contiene un pivote se llama columna pivotante.
El número de pivotes en una matriz se llama el rango de esa matriz.
En cuanto a nuestras matrices de ejemplo, la primera tiene rango 4 y la segunda tiene rango 2.
Reducción de filas en MATLAB
El comando rref de MATLAB va de inclinación completa e intenta eliminar TODOS los términos diagonales y no dejar nada más que unos en la diagonal. Te recomiendo probarlo en nuestros dos ejemplos. Puedes ver sus decisiones individuales usando rrefmovie en su lugar.