5.4: El Método Atrás-Euler

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Donde en la sección Transformada Inversa de Laplace abordamos la derivada en

\[\textbf{x} = B\textbf{x}+\textbf{g} \nonumber\]

a través de una transformación integral perseguimos en esta sección una estrategia mucho más simple, a saber, sustituir la derivada por un cociente de diferencia finita. Es decir, uno elige una ecuación pequeña\(dt\) y 'reemplaza' con

\[\frac{\tilde{x}(t)-\tilde{x}(t-dt)}{dt} = B \tilde{x}(t)+g(t) \nonumber\]

La utilidad de Ecuación es que da un medio de resolución para\(\tilde{x}\) en la actualidad,\(t\), a partir del conocimiento de\(\tilde{x}\) en el pasado inmediato,\(t-dt\).

Por ejemplo, como\(\tilde{x}(0) = x(0)\) se supone que se conoce escribimos Ecuación como\(\tilde{x}(0) = x(0)\) se supone que se conoce escribimos Ecuación como

\[(\frac{I}{dt}-B) \tilde{x}(dt) = x(0)dt+g(dt) \nonumber\]

Resolviendo esto para\(\tilde{x}(dt)\) volvemos a Ecuación y encontramos

\[(\frac{I}{dt}-B) \tilde{x}(2dt) = x(dt)dt+g(2dt) \nonumber\]

y resolver para\(\tilde{x}(2dt)\). El paso general del pasado al presente,

\[\tilde{x} (jdt) = (\frac{I}{dt}-B)^{-1} (\frac{\tilde{x}((j-1)dt)}{dt}+g(jdt)) \nonumber\]

se repite hasta que\(Tdt\) se alcance algún tiempo final deseado. Esta ecuación ha sido implementada en fib3.m con\(dt = 1\) y\(B\) y\(g\) como en el módulo dinámico Strang. El resultante\(\tilde{x}\) (¡corre fib3.m tú mismo!) es indistinguible de la parcela obtenida en el módulo Inverse Laplace.

Comparando las dos representaciones, vemos que ambas producen la solución al sistema lineal general de ecuaciones ordinarias simplemente invirtiendo una copia desplazada de\(B\). La primera representación es dura pero exacta mientras que la segunda es fácil pero aproximada. Por supuesto que debemos esperar la solución aproximada,\(\tilde{x}\), acercarse a la solución exacta,\(x\), como el paso del tiempo\(dt\), se acerca a cero. Para ver esto volvamos a la Ecuación y supongamos, por ahora, eso\(g \equiv 0\). En este caso, se pueden revertir los pasos anteriores y llegar a la representación

\[\tilde{x}(jdt) = ((I-dtB)^{-1})^{j} x(0) \nonumber\]

Ahora, por un tiempo fijo\(t\) suponemos eso\(dt = \frac{t}{j}\) y preguntamos si

\[x(t) = \lim_{j \rightarrow \infty} ((I-\frac{t}{j}B)^{-1})^{j}x(0) \nonumber\]

Este límite, al menos cuando\(B\) es uno por uno, produce el exponencial

\[x(t) = e^{Bt} x(0) \nonumber\]

claramente la solución correcta a la ecuación. Una cuidadosa explicación de la matriz exponencial y su relación con la función de transferencia tendrá que esperar hasta que hayamos dominado la transformada inversa de laplace.