6.1: Números Complejos, Vectores y Matrices
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Números Complejos
Un número complejo es simplemente un par de números reales. Sin embargo, para enfatizar que las dos aritméticas difieren separamos las dos piezas reales por el símbolo\(i\). Más precisamente, cada número complejo,\(z\), puede expresarse de manera única por la combinación\(x+iy\), donde\(x\) y\(y\) son reales y\(i\) denota\(\sqrt{-1}\). Llamamos a\(x\) la parte real y a\(y\) la parte imaginaria de z. Ahora resumimos las reglas principales de la aritmética compleja.
Si\(z_{1} = x_{1}+iy_{1}\) y\(z_{2} = x_{2}+iy_{2}\) entonces
\[z_{1}+z_{2} \equiv x_{1}+x_{2}+i(y_{1}+y_{2}) \nonumber\]
\[z_{1}+z_{2} \equiv (x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2}) = x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}) \nonumber\]
\[\overline{z_{1}} \equiv x_{1}-iy_{1} \nonumber\]
\[\frac{z_{1}}{z_{2}} \equiv \frac{z_{1}}{z_{2}} \frac{\overline{z_{2}}}{\overline{z_{2}}} = \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \nonumber\]
\[|z_{1}| \equiv = \sqrt{z_{1} \overline{z_{1}}} = \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \nonumber\]
Representación Polar
Además de la representación cartesiana también\(z = x+iy\) se tiene la forma polar
\[z = |z|(\cos(\theta)+i \sin(\theta)) \nonumber\]
donde\(\theta = \arctan(yx)\)
Esta forma es especialmente conveniente en lo que respecta a la multiplicación. Más precisamente,
\[\begin{align*} z_{1}z_{2} &= |z_{1}||z_{2}|(\cos(\theta_{1})\cos(\theta_{2})-\sin(\theta_{1})\sin(\theta_{2})+i(\cos(\theta_{1}) \sin(\theta_{2})+\sin(\theta_{1}) \cos(\theta_{2}))) \\[4pt] &=|z_{1}||z_{2}|(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i \sin(\theta_{1}+\theta_{2})) \end{align*}\]
Como resultado:
\[z^{n} = (|z|)^{n}(\cos(n \theta)+i \sin(n \theta)) \nonumber\]
Vectores Complejos y Matrices
Un vector complejo (matriz) es simplemente un vector (matriz) de números complejos. La adición de vectores y matrices procede, como en el caso real, de la adición por elementos. El punto o producto interno de dos vectores complejos requiere, sin embargo, una pequeña modificación. Esto es evidente cuando tratamos de utilizar la vieja noción para definir la longitud de un vector complejo. A saber, tenga en cuenta que si:
\[z = \begin{pmatrix} {1+i}\\ {1-i} \end{pmatrix} \nonumber\]
entonces
\[z^{T} z = (1+i)^2+(1-i)^2 = 1+2i-1+1-2i-1 = 0 \nonumber\]
Ahora la longitud debe medir la distancia desde un punto hasta el origen y solo debe ser cero para el vector cero. El arreglo, como probablemente habrás adivinado, es sumar los cuadrados de las magnitudes de los componentes de\(z\). Esto se logra simplemente conjugando uno de los vectores. A saber, definimos la longitud de un vector complejo a través de:
\[(z) = \sqrt{\overline{z}^{T} z} \nonumber\]
En el ejemplo anterior esto produce
\[\sqrt{(|1+i|)^2+(|1-i|)^2} = \sqrt{4} = 2 \nonumber\]
Como cada número real es el conjugado de sí mismo, esta nueva definición subsume a su contraparte real.
La noción de magnitud también nos da una forma de definir límites y, por lo tanto, nos permitirá introducir cálculos complejos. Decimos que la secuencia de números complejos\(\left \{ z_{n}| n = \begin{pmatrix} {1}\\ {2}\\ {\cdots} \end{pmatrix} \right \} \nonumber\),, converge al número complejo\(z_{0}\) y escribe
\[z_{n} \rightarrow z_{0} \nonumber\]
o
\[z_{0} = \lim_{n \rightarrow \infty} z_{n} \nonumber\]
cuando, presentado con\(\epsilon > 0\) cualquiera puede producir un número entero\(N\) para el cual\(|z_{n}-z_{0}| < \epsilon\) cuando\(n \ge N\). A modo de ejemplo, señalamos eso\((\frac{i}{2})^{n} \rightarrow 0\).
Como ejemplo tanto de una matriz compleja como de algunas de las reglas de la aritmética compleja, examinemos la siguiente matriz:
\[F = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}&{1}\\ {1}&{i}&{-1}&{-i}\\ {1}&{-1}&{1}&{-1}\\ {1}&{-i}&{-1}&{i} \end{pmatrix} \nonumber\]
Intentemos encontrar\(F \overline{F}\). Una opción es simplemente multiplicar las dos matrices por la fuerza bruta, pero esta matriz en particular tiene algunas cualidades notables que facilitan significativamente el trabajo. Específicamente, podemos señalar que cada elemento que no esté en la diagonal de la matriz resultante es igual a 0. Además, cada elemento en la diagonal es 4. De ahí que lleguemos rápidamente a la matriz
\[\begin{align*} F \overline{F} &= \begin{pmatrix} {4}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{4}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{4}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{4} \end{pmatrix} \\[4pt] &= 4i \end{align*}\]
Esta observación final, que esta matriz multiplicada por su transposición produce una constante veces la matriz de identidad, es ciertamente notable. Esta matriz en particular es un ejemplo de una matriz de Fourier, y goza de una serie de propiedades interesantes. La propiedad descrita anteriormente puede generalizarse para cualquiera\(F_{n}\), donde\(F\) se refiere a una matriz de Fourier con\(n\) filas y columnas:
\[F_{n} \overline{F}_{n} = nI \nonumber\]