6.2: Funciones complejas
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Funciones Complejas
Una función compleja es simplemente una regla para asignar ciertos números complejos a otros números complejos. La asignación más simple (no constante) es la función de identidadf(z)≡z Quizás la siguiente función más simple asigna a cada número su cuadrado, es decir,f(z)≡z2. A medida que descompusimos el argumento def, es decirz, el valor def,z2 en este caso, en sus partes reales e imaginarias. En general, escribimos
f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)
dondeu yv son ambas funciones de valor real de dos variables reales. En el caso de quef(z)≡z2 encontremos
u(x,y)=x2−y2
y
v(x,y)=2xy
Con las herramientas de números complejos, podemos producir polinomios complejos
f(z)=zm+cm−1zm−1+⋯+c1z+c0
Decimos que talf es ordenm. A menudo nos resulta conveniente representar polinomios como producto de sus factores, namel
f(z)=(z−λ1)d1(z−λ2)d2⋯(z−λh)dh
Cada unoλj es una raíz de gradodj. Aquíh está el número de raíces distintas def. Llamamos aλj una raíz simple cuando funcionadj=1 racionalmente. Supongamos
q(z)=f(z)g(z)
en racional, esof es de orden a lo sumom−1 mientras queg es de ordenm con las raíces simples{λ1,⋯,λm}. No debería sorprendernos que talq admita una Expansión de Fracción Parcial
q(z)=m∑j=1qjz−λj
Uno descubre elqj primero multiplicando cada lado porz−λj y luego dejandoz tender aλj. Por ejemplo, si
1z2+1=q1z+i+q2z−i
luego multiplicar cada lado porz+i produce
1z−i=q1+q2(z+i)z−i
Ahora bien, paraq1 aislarlo está claro que debemos establecerz=−i. Al hacerlo nos encontramos con esoq1=i2. Para encontrarq2 multiplicamos Ecuación porz−i y luego establecemosz=i. Así lo encontramosq2=−i2, y así
1z2+i=i2z+i+−i2z−i
Volviendo al caso general, codificamos lo anterior en la fórmula simple
qj=limzZ→λj(z−λj)q(z)
Deberías poder usar esto para confirmar que
zz2+1=1/2z+i+1/2z−i
Recordemos que la función de transferencia que conocimos en El módulo Transformación de Laplace era de hecho una matriz de funciones racionales. Ahora bien, la expansión parcial de una matriz de funciones racionales es simplemente la matriz de expansiones de fracción parcial de cada uno de sus elementos. Esto es más fácil de hacer que dicho. Por ejemplo, la función de transferencia de
B=(0−110)
es
(zI−B)−1=1z2+1(z1−1z)=1z+i(12i2−i212)+1z−i(12−i2i212)
La primera línea viene de Gauss-Jordan a mano o a través de la caja de herramientas simbólica en Matlab. Más importante aún, la segunda línea es simplemente una amalgama de Ecuación y Ecuación. Las matrices complejas finalmente han entrado en la imagen. Dedicaremos todo el Capítulo 10 a destapar las notables propiedades que disfrutan las matrices que aparecen en la expansión parcial de(zI−B)−1 fracción de ¿Ha notado que, en nuestro ejemplo, las dos matrices son cada una proyecciones, y suman a I. y que su producto es 0? ¿Podría ser esto un accidente?
En el módulo The Laplace Transform nos enfrentamos al complejo exponencial. Por analogía a lo exponencial real que definimos
ez≡∞∑n=0znn!
y encontrar que
ee=1+iθ+(iθ)22+(iθ)33!+(iθ)44!+⋯=1−θ22+θ44−⋯+i(θ−θ33+θ55−⋯)=cosθ+isinθ
Con esta observación, la forma polar es ahora simplementez=|z|eiθ
Uno puede verificar con la misma facilidad que
cos(θ)=eiθ+e(−i)θ2
y
sin(θ)=eiθ−e(−i)θ2i
Estos sugieren las definiciones, paraz
cos(z)≡eiz+e(−i)z2
y
sin(z)≡eiz−e(−i)z2i
Como en el caso real el exponencial disfruta de la propiedad que
ez1+z2=ez1ez2
y en particular
ex+iy=exeiy=excos(y)+iexsin(y)
Finalmente, la inversa del exponencial complejo es el logaritmo complejo,
ln(z)≡ln(|z|)+iθ
paraz=|z|eiθ. Uno encuentra esoln(−1+i)=ln(√2)+i3π4.