6.2: Funciones complejas

Funciones Complejas

Una función compleja es simplemente una regla para asignar ciertos números complejos a otros números complejos. La asignación más simple (no constante) es la función de identidad\(f(z) \equiv z\) Quizás la siguiente función más simple asigna a cada número su cuadrado, es decir,\(f(z) \equiv z^2\). A medida que descompusimos el argumento de\(f\), es decir\(z\), el valor de\(f\),\(z^2\) en este caso, en sus partes reales e imaginarias. En general, escribimos

\[f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y) \nonumber\]

donde\(u\) y\(v\) son ambas funciones de valor real de dos variables reales. En el caso de que\(f(z) \equiv z^{2}\) encontremos

\[u(x,y) = x^{2}-y^{2} \nonumber\]

y

\[v(x,y) = 2xy \nonumber\]

Con las herramientas de números complejos, podemos producir polinomios complejos

\[f(z) = z^{m}+c_{m-1}z^{m-1}+\cdots+c_{1}z+c_{0} \nonumber\]

Decimos que tal\(f\) es orden\(m\). A menudo nos resulta conveniente representar polinomios como producto de sus factores, namel

\[f(z) = (z- \lambda_{1})^{d^{1}}(z-\lambda_{2})^{d^{2}} \cdots (z-\lambda_{h})^{d^{h}} \nonumber\]

Cada uno\(\lambda_{j}\) es una raíz de grado\(d_{j}\). Aquí\(h\) está el número de raíces distintas de\(f\). Llamamos a\(\lambda_{j}\) una raíz simple cuando funciona\(d_{j} = 1\) racionalmente. Supongamos

\[q(z) = \frac{f(z)}{g(z)} \nonumber\]

en racional, eso\(f\) es de orden a lo sumo\(m-1\) mientras que\(g\) es de orden\(m\) con las raíces simples\(\{\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}\}\). No debería sorprendernos que tal\(q\) admita una Expansión de Fracción Parcial

\[q(z) = \sum_{j = 1}^{m} \frac{q_{j}}{z-\lambda_{j}} \nonumber\]

Uno descubre el\(q_{j}\) primero multiplicando cada lado por\(z-\lambda_{j}\) y luego dejando\(z\) tender a\(\lambda_{j}\). Por ejemplo, si

\[\frac{1}{z^{2}+1} = \frac{q_{1}}{z+i}+\frac{q_{2}}{z-i} \nonumber\]

luego multiplicar cada lado por\(z+i\) produce

\[\frac{1}{z-i} = q_{1}+\frac{q_{2}(z+i)}{z-i} \nonumber\]

Ahora bien, para\(q_{1}\) aislarlo está claro que debemos establecer\(z = -i\). Al hacerlo nos encontramos con eso\(q_{1} = \frac{i}{2}\). Para encontrar\(q_{2}\) multiplicamos Ecuación por\(z-i\) y luego establecemos\(z = i\). Así lo encontramos\(q_{2} = -\frac{i}{2}\), y así

\[\frac{1}{z^2+i} = \frac{\frac{i}{2}}{z+i}+\frac{\frac{-i}{2}}{z-i} \nonumber\]

Volviendo al caso general, codificamos lo anterior en la fórmula simple

\[q_{j} = \lim_{zZ \rightarrow \lambda_{j}} (z-\lambda_{j})q(z) \nonumber\]

Deberías poder usar esto para confirmar que

\[\frac{z}{z^2+1} = \frac{1/2}{z+i}+\frac{1/2}{z-i} \nonumber\]

Recordemos que la función de transferencia que conocimos en El módulo Transformación de Laplace era de hecho una matriz de funciones racionales. Ahora bien, la expansión parcial de una matriz de funciones racionales es simplemente la matriz de expansiones de fracción parcial de cada uno de sus elementos. Esto es más fácil de hacer que dicho. Por ejemplo, la función de transferencia de

\[B = \begin{pmatrix} {0}&{-1}\\ {1}&{0} \end{pmatrix}\]

es

\[\begin{align*} (zI-B)^{-1} &= \frac{1}{z^{2}+1} \begin{pmatrix} {z}&{1}\\ {-1}&{z} \end{pmatrix} \\[4pt] &= \frac{1}{z+i} \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}}&{\frac{i}{2}}\\ {\frac{-i}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}+\frac{1}{z-i} \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}}&{\frac{-i}{2}}\\ {\frac{i}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} \end{align*}\]

La primera línea viene de Gauss-Jordan a mano o a través de la caja de herramientas simbólica en Matlab. Más importante aún, la segunda línea es simplemente una amalgama de Ecuación y Ecuación. Las matrices complejas finalmente han entrado en la imagen. Dedicaremos todo el Capítulo 10 a destapar las notables propiedades que disfrutan las matrices que aparecen en la expansión parcial de\((zI-B)^{-1}\) fracción de ¿Ha notado que, en nuestro ejemplo, las dos matrices son cada una proyecciones, y suman a I. y que su producto es 0? ¿Podría ser esto un accidente?

En el módulo The Laplace Transform nos enfrentamos al complejo exponencial. Por analogía a lo exponencial real que definimos

\[e^{z} \equiv \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \nonumber\]

y encontrar que

\[\begin{align*} e^{e} &= 1+i \theta+\frac{(i \theta)^2}{2}+\frac{(i \theta)^{3}}{3!}+\frac{(i \theta)^{4}}{4!}+ \cdots \\[4pt] &= 1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4}-\cdots+i(\theta-\frac{\theta^{3}}{3}+\frac{\theta^{5}}{5}-\cdots) \\[4pt] &= \cos \theta+i \sin \theta \end{align*}\]

Con esta observación, la forma polar es ahora simplemente\(z = |z|e^{i \theta}\)

Uno puede verificar con la misma facilidad que

\[\cos(\theta) = \frac{e^{i \theta}+e^{(-i) \theta}}{2} \nonumber\]

y

\[\sin(\theta) = \frac{e^{i \theta}-e^{(-i) \theta}}{2i} \nonumber\]

Estos sugieren las definiciones, para\(z\)

\[\cos(z) \equiv \frac{e^{iz}+e^{(-i)z}}{2} \nonumber\]

y

\[\sin(z) \equiv \frac{e^{iz}-e^{(-i)z}}{2i} \nonumber\]

Como en el caso real el exponencial disfruta de la propiedad que

\[e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}}e^{z_{2}} \nonumber\]

y en particular

\[\begin{align*} e^{x+iy} &= e^{x}e^{iy} \\[4pt] &= e^{x} \cos(y)+ie^{x} \sin(y) \end{align*}\]

Finalmente, la inversa del exponencial complejo es el logaritmo complejo,

\[\ln (z) \equiv \ln(|z|)+i \theta \nonumber\]

para\(z = |z|e^{i \theta}\). Uno encuentra eso\(\ln(-1+i) = \ln(\sqrt{2})+i \frac{3\pi}{4}\).