8.4: La representación espectral

Con solo un poco más de trabajo llegaremos a una expansión similar para la propia BB. Comenzamos por aplicar la segunda identidad resolutiva a\(P_{j}\). Más precisamente, observamos que la segunda identidad resolutiva implica que

\[BP_{j}=P_{j}B \nonumber\]

\[= \int_{C_{j}} zR(z)-I dz \nonumber\]

\[P_{j}B = \int_{C_{j}} zR(z) dz \nonumber\]

\[P_{j}B = \int_{C_{j}} R(z)(z-\lambda_{j})dz+\lambda_{j} \int_{C_{j}} R(z) dz \nonumber\]

\[P_{j}B = D_{j}+\lambda_{j} P_{j} \nonumber\]

Resumiendo esto\(j\) encontramos

\[B \sum_{j = 1}^{h} Pj= \sum_{j = 1}^{h} \lambda_{j} P_{j}+ \sum_{j = 1}^{h} D_{j} \nonumber\]

Podemos ir un paso más allá, es decir, la evaluación de la primera suma. Esto se deriva de la ecuación en la discusión de la función de transferencia donde nos integramos\(R(⁢s)\) sobre un círculo\(C_{\rho}\) donde\(\rho > ||B||\). La conexión con el\(P_{j}\) se realiza por el teorema del residuo. Más precisamente,

\[\int_{C_{\rho}} R(z) dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{h} P_{j} \nonumber\]

Comparando esto con la ecuación a partir de la discusión de la función de transferencia que encontramos

\[\sum_{j=1}^{h} P_{j} = I \nonumber\]

y así toma la forma

\[B = \sum_{j=1}^{h} \lambda_{j} P_{j}+ \sum_{j=1}^{h} D_{j} \nonumber\]

Es esta fórmula a la que nos referimos como la Representación Espectral de\(B\). A las numerosas conexiones entre la\(P_{j}\) y\(D_{j}\) deseamos sumar una más. Primero escribimos como

\[(B-\lambda_{j} I)P_{j} = D_{j} \nonumber\]

y luego elevar cada lado al\(m_{j}\) poder. Como\(P_{j}^{m_{j}} = P_{j}\) y\(D_{j}^{m_{j}} = 0\) nos encontramos

\[(B-\lambda_{j}I)m_{j}^{P_{j}} = 0 \nonumber\]

Por esta razón llamamos al rango\(P_{j}\) del jésimo espacio propio generalizado, llamamos a cada uno de sus miembros distintos de cero un jésimo vector propio generalizado y nos referimos a la dimensión de\(\mathscr{R}(P_{j})\) como la multiplicidad algebraica de\(\lambda_{j}\). Con respecto al primer ejemplo de la discusión del problema de los valores propios, observamos que aunque solo tiene dos autovectores linealmente independientes el lapso de los espacios propios generalizados asociados efectivamente se llena\(\mathbb{R}^{3}\). Uno puede ver esto como una consecuencia de\(P_{1}+P_{2} = I\) o, quizás más concretamente, como anexar el primer vector propio generalizado\(\begin{pmatrix} {0}&{1}&{0} \end{pmatrix}^T\) a los dos vectores propios originales\(\begin{pmatrix} {1}&{0}&{0} \end{pmatrix}^T\) y\(\begin{pmatrix} {0}&{0}&{1} \end{pmatrix}^T\). En otras palabras, las multiplicidades algebraicas se suman a la dimensión ambiental (aquí 3), mientras que la suma de las multiplicidades geométricas se queda corta (aquí 2).