9.2: Ortogonalización Gram-Schmidt

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Supongamos que\(M\) es un subespacio\(m\) -dimensional con base

\[\{x_{1}, \cdots, x_{m}\} \nonumber\]

Transformamos esto en una base ortonormal

\[\{q_{1}, \cdots, q_{m}\} \nonumber\]

para\(M\) vía

1. Set\(y_{1} = x_{1}\) y\(q_{1} = \frac{y_{1}}{||y_{1}||}\)

2. \(y_{2} = x_{2}\)menos la proyección de\(x_{2}\) sobre la línea abarcada por\(q_{1}\).

Es decir,\[y_{2} = x_{2}-q_{1}(q_{1}^{T}q_{1})^{-1}q_{1}^{T}x_{2} = x_{2}-q_{1}q_{1}^{T}x_{2} \nonumber\]

Set\(q_{2} = \frac{y_{2}}{||y_{2}||}\) y\(Q_{2} = \{q_{1}, q_{2}\}\)

3. \(y_{3} = x_{3}\)menos la proyección de\(x_{3}\) sobre el plano abarcado por\(q_{1}\) y\(q_{2}\). Es decir,

\[y_{3} = x_{3}-Q_{2}(Q_{2}^{T}Q_{2})^{-1}Q_{2}^{T} x_{3} = x_{3}-q_{1}q_{1}^{T}x_{3} \nonumber\]

Establecer\(q_{3} = \frac{y_{3}}{||y_{3}||}\) y\(Q_{3} = \{q_{1}, q_{2}, q_{3}\}\). Continuar de esta manera a través del paso (m)

(m)\(y_{m} = x_{m}\) menos su proyección sobre el subespacio abarcado por las columnas de\(Q_{m-1}\)

\[y_{m} = x_{m}-Q_{m-1}(Q_{m-1}^{T}Q_{m-1})^{-1}Q_{m-1}^{T} x_{m}x_{m}- \sum_{j=1}^{m-1} q_{j}q_{j}^{T} x_{m} \nonumber\]

Set\(q_{m} = \frac{y_{m}}{||y_{m}||}\). Para tomar un ejemplo sencillo, ortogonalicemos las siguientes bases para\(\mathbb{R}^3\)

\[\begin{array}{ccc} {x_{1} = \begin{pmatrix} {1}\\{0}\\{0} \end{pmatrix}}&{x_{2} = \begin{pmatrix} {1}\\{1}\\{0} \end{pmatrix}}&{x_{3} = \begin{pmatrix} {1}\\{1}\\{1} \end{pmatrix}} \end{array} \nonumber\]

\(q_{1} = y_{1} = x_{1}\)
\(y_{2} = x_{2}-q_{1}q_{1}^{T}x_{2} = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0} \end{pmatrix}^T\)y así,\(q_{2} = y_{2}\)
\(y_{3} = x_{3}-q_{2}q_{2}^{T}x_{3} = \begin{pmatrix} {0}&{0}&{1} \end{pmatrix}^T\)y así,\(q_{3} = y_{3}\)

Hemos llegado a

\[\begin{array}{ccc} {q_{1} = \begin{pmatrix} {1}\\{0}\\{0} \end{pmatrix}}&{q_{2} = \begin{pmatrix} {0}\\{1}\\{0} \end{pmatrix}}&{q_{3} = \begin{pmatrix} {0}\\{0}\\{1} \end{pmatrix}} \end{array} \nonumber\]

Una vez que se capta la idea, es mejor dejar los cálculos reales en manos de una máquina. Matlab logra esto a través del comando orth. Su implementación es un poco más sofisticada que una carrera a ciegas a través de nuestros pasos (1) a (m). En consecuencia, no hay garantía de que devolverá la misma base. Por ejemplo

>>X=[1 1 1;0 1 1 ;0 0 1];

>>Q=orth(X)

Q=

  0.7370  -0.5910  0.3280

  0.5910   0.3280 -0.7370

  0.3280   0.7370  0.5910

Esta ambigüedad no nos molesta, pues una base ortogonal es tan buena como otra. Pongamos esto en práctica, vía (10.8).