9.3: La diagonalización de una matriz simétrica

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Al elegir una base ortogonal\(\{q_{j,k} | 1 \le k \le n_{j}\}\) para cada uno\(\mathbb{R}(P_{j})\) y recopilar los vectores base en

\[Q_{j} = \begin{pmatrix} {q_{j,1}}&{q_{j,2}}&{\cdots}&{q_{j,n_{j}}} \end{pmatrix} \nonumber\]

Nos encontramos con que

\[P_{j} = Q_{j}Q_{j}^{T} = \sum_{k=1}^{n_{j}} q_{j,k}q_{j,k}^{T} \nonumber\]

Como resultado, la representación espectral toma la forma

\[B = \sum_{j=1}^{h} \lambda_{j}Q_{j}Q_{j}^{T} \nonumber\]

\[\sum_{j=1}^{h} \lambda_{j} \sum_{k=1}^{n_{j}} q_{j,k}q_{j,k}^{T} \nonumber\]

Esta es la representación espectral en quizás su vestimenta más detallada. ¡Existe, sin embargo, todavía otra forma! Es una forma que probablemente verá en futuros cursos de ingeniería y se logra ensamblando el\(Q_{j}\) en una sola matriz\(n-by-n\) ortonormal

\[Q = \begin{pmatrix} {Q_{1}}&{\cdots}&{Q_{h}} \end{pmatrix} \nonumber\]

Al tener columnas ortonormales se deduce que\(Q^{T}Q = I\). \(Q\)siendo cuadrado, se deduce además que\(Q^{T} = Q^{-1}\). Ahora,

\[Bq_{j,k} = \lambda_{j}q_{j,k} \nonumber\]

puede codificarse en términos de matriz a través de

\[BQ = Q \Lambda \nonumber\]

donde\(\Lambda\) está la matriz\(n-by-n\) diagonal cuyos primeros términos\(n_{1}\) diagonales son\(\lambda_{1}\), cuyos siguientes términos\(n_{2}\) diagonales son\(\lambda_{2}\), y así sucesivamente. Es decir, cada uno\(\lambda_{j}\) se repite según su multiplicidad. Multiplicando cada lado de la Ecuación, desde la derecha, por\(Q^{T}\) llegamos a

\[B = Q \Lambda Q^{T} \nonumber\]

Porque uno puede escribir con la misma facilidad

\[Q^{T} BQ = \Lambda \nonumber\]

uno dice que\(Q\) diagonaliza\(B\).

Devolvamos el nuestro ejemplo

\[B = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{1}\\ {1}&{1}&{1}\\ {1}&{1}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

del último capítulo. Recordemos que el espacio propio asociado con\(\lambda_{1} = 0\)

\[e_{1, 1} = \begin{pmatrix} {-1}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[e_{1, 2} = \begin{pmatrix} {-1}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix} \nonumber\]

para una base. A través de Gram-Schmidt podemos reemplazar esto con

\[q_{1, 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} {-1}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[q_{1, 2} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} {-1}\\ {-1}\\ {2} \end{pmatrix} \nonumber\]

Normalizando el vector asociado con el\(\lambda_{2} = 3\) que llegamos

\[q_{2, 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} {1}\\ {1}\\ {1} \end{pmatrix} \nonumber\]

y por lo tanto

\[Q = \begin{pmatrix} {q_{1}^{1}}&{q_{2}^{1}}&{q_{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} {-\sqrt{3}}&{-1}&{\sqrt{2}}\\ {\sqrt{3}}&{-1}&{\sqrt{2}}\\ {0}&{2}&{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[\begin{pmatrix} {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{3} \end{pmatrix} \nonumber\]