10.2: La Matriz Exponencial como Límite de Poderes

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Puede recordar de Cálculo que para cualquier número aa y tt uno puede lograr\(e^{a⁢t}\) a través de

\[e^{at} = \lim_{k \rightarrow \infty} (1+\frac{at}{k})^k \nonumber\]

Por lo tanto, la definición de matriz natural es

\[e^{At} = \lim_{k \rightarrow \infty} (I+\frac{At}{k})^k \nonumber\]

donde\(I\) es la matriz de identidad n-por-n.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

El caso más fácil es el caso diagonal, por ejemplo,

\[A = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{2} \end{pmatrix} \nonumber\]

para entonces

\[(I+\frac{At}{k})^k = \begin{pmatrix} {(1+\frac{t}{k})^k}&{0}\\ {0}&{(1+\frac{2t}{k})^k} \end{pmatrix} \nonumber\]

y así

\[e^{At} = \begin{pmatrix} {e^t}&{0}\\ {0}&{e^{2t}} \end{pmatrix} \nonumber\]

Tenga en cuenta que este NO es el exponencial de cada elemento de\(A\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Como ejemplo concreto supongamos

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

Desde

\[I+At = \begin{pmatrix} {1}&{t}\\ {-t}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[(I+\frac{At}{2})^2 = \begin{pmatrix} {1}&{\frac{t}{2}}\\ {\frac{-t}{2}}&{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1}&{\frac{t}{2}}\\ {\frac{-t}{2}}&{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1-\frac{t^2}{4}}&{t}\\ {-t}&{1-\frac{t^2}{4}} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[(I+\frac{At}{2})^3 = \begin{pmatrix} {1-\frac{t^2}{3}}&{t-\frac{t^3}{27}}\\ {-t+\frac{t^3}{27}}&{1-\frac{t^2}{3}} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[(I+\frac{At}{2})^4 = \begin{pmatrix} {-\frac{3t^2}{8}+\frac{t^4}{256}+1}&{t-\frac{t^3}{16}}\\ {-t+\frac{t^3}{16}}&{-\frac{3t^2}{8}+\frac{t^4}{256}+1} \end{pmatrix} \nonumber\]

\[(I+\frac{At}{2})^5 = \begin{pmatrix} {-\frac{2t^2}{5}+\frac{t^4}{125}+1}&{t-\frac{2t^3}{25}+\frac{t^5}{3125}}\\ {-t+\frac{2t^3}{25}-\frac{t^5}{3125}}&{-\frac{2t^2}{5}+\frac{t^4}{125}+1} \end{pmatrix} \nonumber\]

Discernimos un patrón: los elementos diagonales son iguales polinomios pares mientras que los elementos diagonales son iguales pero opuestos polinomios impares. El grado del polinomio crecerá con kk y en el límite 'reconocemos'

\[e^{At} = \begin{pmatrix} {\cos(t)}&{-\sin(t)}\\ {\sin(t)}&{\cos(t)} \end{pmatrix} \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

entonces

\[(I+\frac{At}{k})^k = \begin{pmatrix} {1}&{t}\\ {0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

para cada valor de\(k\) y así

\[e^{At} = \begin{pmatrix} {1}&{t}\\ {0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]