10.1: Visión general
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
La matriz exponencial es un medio poderoso para representar la solución a nn ecuaciones lineales, de coeficiente constante y diferenciales. El problema de valor inicial para un sistema de este tipo puede ser escrito
x′(t)=Ax(t)
x(0)=x0
dondeA es la matriz n-por-n de coeficientes. Por analogía con el caso 1 por 1 que podríamos esperar
x(t)=eAtu
para sostener. Nuestras expectativas son otorgadas si definimos adecuadamenteeAt. ¿Ves por qué simplemente exponenciar cada elemento de noAt será suficiente?
Hay al menos 4 enfoques distintos (pero por supuesto equivalentes) para definir adecuadamenteeAt. Los dos primeros son análogos naturales del caso de una sola variable mientras que los dos últimos hacen uso de maquinaria de álgebra matricial más pesada.
- La Matriz Exponencial como Límite de Poderes
- La Matriz Exponencial como suma de Poderes
- La Matriz Exponencial a través de la Transformación Laplace
- La matriz exponencial a través de valores propios y vectores propios
Visite cada uno de estos módulos para ver la definición y una serie de ejemplos.
Para una aplicación concreta de estos métodos a un sistema dinámico real, visite el módulo Mass Spring-Damper-module.
Independientemente del enfoque, se puede demostrar que la matriz exponencial obedece a las 3 propiedades encantadoras
- ddt(eAt)=AeAt=eAtA
- eA(t1+t2)=eAt1eAt2
- eAtes no singular y(eAt)−1=e−(At)
Confirmemos cada uno de estos en el conjunto de ejemplos utilizados en los submódulos.
Si
A=(1002)
entonces
eAt=(et00e2t)
- ddt(eAt)=(et00e2t)=(1002)(et00e2t)
- (et1+t200e2t1+2t2)=(et1et200e2t1e2t2)=(et100e2t1)(et200e2t2)
- (eAt)−1=(e−t00e−(2t))=e−(At)
Si
A=(01−10)
entonces
eAt=(cos(t)sin(t)−sin(t)cos(t))
- ddt(eAt)=(−sin(t)cos(t)−cos(t)−sin(t))yAeAt=(−sin(t)cos(t)−cos(t)−sin(t))
- Reconocerás esta declaración como una identidad trigonómica básica(cos(t1+t2)sin(t1+t2)−sin(t1+t2)cos(t1+t2))=(cos(t1)sin(t1)−sin(t1)cos(t1))(cos(t2)sin(t2)−sin(t2)cos(t2))
- (eAt)−1=(cos(t)−sin(t)sin(t)cos(t))=(cos(−t)−sin(−t)sin(−t)cos(−t))=e−(At)
Si
A=(0100)
entonces
eAt=(1t01)
- ddt(eAt)=(0100)=AeAt
- (1t1+t201)=(1t101)(1t201)
- (1t01)−1=(1−t01)=e−At