10.3: La Matriz Exponencial como Suma de Poderes
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Usted puede recordar de Cálculo que para cualquier número aa y tt uno puede lograr eateat vía
\[e^{at} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(at)^k}{k!} \nonumber\]
Por lo tanto, la definición de matriz natural es
\[e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!} \nonumber\]
donde\(A^{0} = I\) es la matriz de identidad n-por-n.
El caso más fácil es el caso diagonal, e.g.
\[A = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{2} \end{pmatrix} \nonumber\]
para entonces
\[(At)^k = \begin{pmatrix} {t^k}&{0}\\ {0}&{(2t)^k} \end{pmatrix} \nonumber\]
y así
\[e^{At} = \begin{pmatrix} {e^t}&{0}\\ {0}&{e^{2t}} \end{pmatrix} \nonumber\]
Tenga en cuenta que este NO es el exponencial de cada elemento de\(A\).
Como segundo ejemplo supongamos
\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]
Reconocemos que su ciclo de poderes, es decir,
\[A^2 = \begin{pmatrix} {-1}&{0}\\ {0}&{-1} \end{pmatrix} \nonumber\]
\[A^3 = \begin{pmatrix} {0}&{-1}\\ {1}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]
\[A^4 = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]
\[A^5 = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix} = A \nonumber\]
y así
\[e^{At} = \begin{pmatrix} {1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4}+\cdots}&{t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\cdots}\\ {-t+\frac{t^3}{3!}-\frac{t^5}{5!}+\cdots}&{1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4}+\cdots} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\cos(t)}&{\sin(t)}\\ {-\sin(t)}&{\cos(t)} \end{pmatrix} \nonumber\]
Si
\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]
entonces
\[A^2 = A^3 = A^k = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]
y así
\[e^{At} = (I+tA) \begin{pmatrix} {1}&{t}\\ {0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]