10.4: La Matriz Exponencial a través de la Transformación de Laplace

Puede recordar del módulo Transformar de Laplace que puede lograr\(e^{at}\) a través de

\[e^{at} = \mathscr{L}^{-1}(\frac{1}{s-a}) \nonumber\]

Por lo tanto, la definición de matriz natural es

\[e^{At} = \mathscr{L}^{-1} ((sI-A)^{-1}) \nonumber\]

donde\(I\) es la matriz de identidad n-por-n.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

El caso más fácil es el caso diagonal, e.g.

\[A = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{2} \end{pmatrix} \nonumber\]

para entonces

\[(sI-A)^{-1} = \begin{pmatrix} {\frac{1}{s-1}}&{0}\\ {0}&{\frac{1}{s-2}} \end{pmatrix} \nonumber\]

y así

\[e^{At} = \begin{pmatrix} {\mathscr{L}^{-1} (\frac{1}{s-1})}&{0}\\ {0}&{\mathscr{L}^{-1} (\frac{1}{s-2})} \end{pmatrix} \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Como segundo ejemplo supongamos

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

y computar, en matlab,

>> inv(s*eye(2)-A)  
	
	   ans = [ s/(s^2+1),  1/(s^2+1)]
	         [-1/(s^2+1),  s/(s^2+1)]

	>> ilaplace(ans)

	   ans = [ cos(t),  sin(t)]
	         [-sin(t),  cos(t)]
	       

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Si

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

entonces

>> inv(s*eye(2)-A)  
	
	   ans = [ 1/s,  1/s^2]
	         [   0,    1/s]

	>> ilaplace(ans)

	   ans = [ 1,  t]
	         [ 0,  1]