10.6: El Sistema Masión-Muelle Amortiguador

Figura 1. Masa, muelle, sistema amortiguador

Si se proporciona un desplazamiento inicial\(x_{0}\), y velocidad\(v_{0}\), a la masa representada en la Figura, entonces uno encuentra que su desplazamiento,\(x(t)\) en el tiempo\(t\) satisface

\[m \frac{d^{2}x(t)}{dt^2}+2c \frac{dx(t)}{dt}+kx(t) = 0 \nonumber\]

\[x(0) = x_{0} \nonumber\]

\[x′(0) = v_{0} \nonumber\]

donde primo denota diferenciación con respecto al tiempo. Es costumbre escribir esta única ecuación de segundo orden como un par de ecuaciones de primer orden. Más precisamente, establecemos

\[u_{1}(t) = x(t) \nonumber\]

\[u_{2}(t) = x′(t) \nonumber\]

y tenga en cuenta que la ecuación se convierte

\[mu_{2}′(t) = (-(ku_{1}(t)))-2cu_{2}(t) \nonumber\]

\[u_{1}′(t) = u_{2}(t) \nonumber\]

Denotando\(u(t) \equiv \begin{pmatrix} {u_{1}(t)}&{u_{2}(t)} \end{pmatrix}^T\) escribimos Ecuación como

\[\forall A, A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {\frac{-k}{m}}&{\frac{-2c}{m}} \end{pmatrix} : (u′(t) = Au(t)) \nonumber\]

Recordamos del módulo The Matrix Exponential que

\[u(t) = e^{At}u(0) \nonumber\]

Procederemos a calcular la matriz exponencial a lo largo de las líneas de La matriz Exponencial a través del módulo Eigenvalues y Eigenvectectors. Para comenzar grabamos el resolvent

\[R(z) = \frac{-1}{mz^2+2cz+k} \begin{pmatrix} {2c+mz}&{m}\\ {-k}&{mz} \end{pmatrix} \nonumber\]

Los valores propios son las raíces de\(mz^2+2cz+k\)

\[\forall d, d = \sqrt{c^2-mk} : (\lambda_{1} = \frac{(-c)-d}{m} \nonumber\]

\[\forall d, d = \sqrt{c^2-mk} : (\lambda_{2} = \frac{(-c)+d}{m} \nonumber\]

Naturalmente consideramos dos casos, siendo el primero

• \(d \ne 0\). En este caso la expansión parcial de la fracción de\(R(z)\) rendimientos

\[R(z) = \frac{-1}{z-\lambda_{1}} \frac{1}{2d} \begin{pmatrix} {d-c}&{-m}\\ {k}&{c+d} \end{pmatrix}+\frac{-1}{z-\lambda_{2}} \frac{1}{2d} \begin{pmatrix} {c+d}&{m}\\ {-k}&{d-c} \end{pmatrix} = \frac{-1}{z-\lambda_{1}} P_{1}+\frac{-1}{z-\lambda_{2}} P_{2} \nonumber\]

y así\(e^{At} = e^{\lambda_{1}t}P_{1}+e^{\lambda_{2}t}P_{2}\) es decir,\(v_{0}\) se deduce que

\[x(t) = \frac{x_{0}}{2d} (e^{\lambda_{1}t}(d-c)+e^{\lambda_{2}t}(c+d)) \nonumber\]

Si\(d\) es real, es decir, si\(c^2 > mk\) entonces ambos\(\lambda_{1}\) y\(\lambda_{2}\) son números reales negativos y\(x(t)\) decae a 0 sin oscilación. Si, por el contrario,\(d\) es imaginario, es decir,\(c^2 < mk\), entonces

\[x(t) = e^{-(ct)}(\cos(|d|t)+\frac{c}{|d|}\sin(|d|t)) \nonumber\]

y así\(x\) decae a 0 de manera oscilatoria. Cuando Ecuación mantiene el sistema se dice que está sobreamortiguado mientras que cuando la Ecuación gobierna entonces hablamos del sistema como subamortiguado. Queda por discutir el caso del amortiguamiento crítico.

• \(d = 0\). En este caso,\(\lambda_{1} = \lambda_{2} = -\sqrt{\frac{k}{m}}\) y así sólo necesitamos computar\(P_{1}\) y\(D_{1}\). Como no hay más que uno\(P_{j}\) y\(P_{j}\) se sabe que suman a la identidad se deduce que\(P_{1} = I\). Del mismo modo, esta ecuación dicta que

\[D_{1} = AP_{1}-\lambda_{1}P_{1} = A-\lambda_{1}I = \begin{pmatrix} {\sqrt{\frac{k}{m}}}&{1}\\ {-\frac{k}{m}}&{\sqrt{\frac{k}{m}}} \end{pmatrix} \nonumber\]

En la sustitución de esto en esta ecuación encontramos

\[e^{At} = e^{-(t\sqrt{\frac{k}{m}})} \begin{pmatrix} {1+t\sqrt{\frac{k}{m}}}&{1}\\ {-(t\frac{k}{m})}&{1-t\sqrt{\frac{k}{m}}} \end{pmatrix} \nonumber\]

Bajo el supuesto, como antes, que\(v_{0} = 0\), deducimos de la Ecuación que

\[x(t) = e^{-(t\sqrt{\frac{k}{m}})} (1+t \sqrt{\frac{k}{m}})x_{0} \nonumber\]