10.5: La Matriz Exponencial a través de Autovalores y Autovectores

En este módulo se explota el hecho de que la matriz exponencial de una matriz diagonal es la matriz diagonal de exponenciales de elementos. Para explotarlo necesitamos recordar que todas las matrices son casi diagonalizables. Comencemos con el caso limpio: si\(A\) es n-by-n y tiene valores propios\(n\) distintos,\(\lambda_{j}\), y por lo tanto vectores propios\(n\) lineales,\(s_{j}\), entonces notamos que

\[\forall j, j \in \{1, \cdots, n\} : (As_{j} = \lambda_{j}s_{j}) \nonumber\]

tal vez escrito como

\[A = S \Lambda S^{-1} \nonumber\]

donde\(S = \begin{pmatrix} {s_{1}}&{s_{2}}&{\cdots}&{s_{n}} \end{pmatrix}\) está la matriz completa de vectores propios y\(\Lambda = diag (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\) es la matriz diagonal de autovalores. Una razón genial para escribir\(A\) como en Ecuación es que

\[A^2 = S \Lambda S^{-1} S \Lambda S^{-1} = S \Lambda^{2} S^{-1} \nonumber\]

y, de manera más general

\[A^k = S \Lambda^{k} S^{-1} \nonumber\]

Si ahora enchufamos esto a la definición en La matriz exponencial como suma de poderes, encontramos

\[e^{At} = Se^{\Lambda t} S^{-1} \nonumber\]

donde\(e^{\Lambda ⁢t}\) es simplemente

\[diag (e^{\lambda_{1}t}, e^{\lambda_{2}t}, \cdots, e^{\lambda_{1}t}) \nonumber\]

Ejerzcamos esto en nuestro conjunto estándar de ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si

\[A = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{2} \end{pmatrix} \nonumber\]

entonces

\[S = I \Lambda = A \nonumber\]

y así\(e^{At} = e^{\Lambda t}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Como segundo ejemplo supongamos

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

y computar, en matlab,

>> [S, Lam] = eig(A)

	   S = 0.7071             0.7071
	            0 + 0.7071i        0 - 0.7071i


	   Lam = 0 + 1.0000i     0
	         0               0 - 1.0000i


	>> Si = inv(S)

	   Si = 0.7071     0 - 0.7071i
	        0.7071     0 + 0.7071i


	>> simple(S*diag(exp(diag(Lam)*t))*Si)

	   ans = [ cos(t),   sin(t)]
	         [-sin(t),   cos(t)]
	

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Si

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

luego matlab entrega

>> [S, Lam] = eig(A)

	   S = 1.0000   -1.0000
	       0         0.0000

	   Lam = 0    0
	         0    0	

Entonces cero es un valor propio doble con solo un vector propio. De ahí que SS no sea invertible y no podamos invocar. A la generalización se le suele llamar la Forma Canónica Jordana o la Representación Espectral. Este último dice

\[A = \sum_{j=1}^{h} \lambda_{j}P_{j}+D_{j} \nonumber\]

donde los\(\lambda_{j}\) son los distintos valores propios de\(A\) while, en términos del resolvent\(R(z) = (zI-A)^{-1}\)

\[P_{j} = \frac{1}{2 \pi i} \int R(z) dz \nonumber\]

es la proyección propia asociada y

\[D_{j} = \frac{1}{2 \pi i} \int R(z)(z-\lambda_{j}) dz \nonumber\]

es el eigen-nilpotente asociado. En cada caso,\(C_{j}\) es un pequeño círculo que encierra solamente\(\lambda_{j}\)

Por el contrario expresamos el resolvent

\[R(z) = \sum_{j=1}^{h} \frac{1}{z-\lambda_{j}}P_{j}+\sum_{k=1}^{m_{j}-1}\frac{1}{(z-\lambda_{j})^{k+1}}D^{k}_{j} \nonumber\]

donde

\[m_{j} = \dim (\mathscr{R}(P_{j})) \nonumber\]

con esta preparación recordamos la fórmula integral de Cauchy para una función suave f

\[f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int \frac{f(z)}{z-a} dz \nonumber\]

donde\(C(a)\) es una curva que encierra el punto\(a\)

\[f(A) = \frac{-1}{2\pi i} \int f(z)R(z) dz \nonumber\]

donde\(C(r)\) encierra TODOS los valores propios de\(A\). Para\(f(z) = e^{zt}\) nosotros encontramos

\[e^{At} = \sum_{j=1}^{h} e^{\lambda_{j}t} (P_{j}+\sum_{k=1}^{m_{j}-1} \frac{t^k}{k!}D^{k}_{j}) \nonumber\]

con respecto a nuestro ejemplo nos encontramos,\(h=1, \lambda_{1}=0, P_{1}=I, m_{1}=2, D_{1}=A\) así

\[e^{At} = I+tA \nonumber\]

Consideremos un ejemplo un poco más grande, si

\[A = \begin{pmatrix} {1}&{1}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{2} \end{pmatrix} \nonumber\]

entonces

>> R = inv(s*eye(3)-A)

	   R = [ 1/(s-1),   1/(s-1)^2,         0]
	       [       0,     1/(s-1),         0]
	       [       0,           0,   1/(s-2)]

y así\(\lambda_{1} = 1\) y\(\lambda_{2} = 2\) mientras

\[P_{1} = \begin{pmatrix} {1}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

y así\(m_{1} = 2\)

\[D_{1} = \begin{pmatrix} {0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

y

\[P_{2} = \begin{pmatrix} {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

y\(m_{2}=1\) y\(D_{2}=0\)

\[e^{At} = e^{t}(P_{1}+tD_{1})+e^{2t}P_{2} \nonumber\]

\[\begin{pmatrix} {e^t}&{te^t}&{0}\\ {0}&{e^t}&{0}\\ {0}&{0}&{e^{2t}} \end{pmatrix} \nonumber\]