1.4: Unicidad de la Forma Reducida de Fila-Escalón
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Como hemos visto en secciones anteriores, sabemos que cada matriz puede ser llevada a una forma reducida de fila-escalón mediante una secuencia de operaciones elementales de fila. Aquí demostraremos que la matriz resultante es única; en otras palabras, la matriz resultante en escalón de fila reducida no depende de la secuencia particular de operaciones de fila elemental ni del orden en que se realizaron.
\(A\)Sea la matriz aumentada de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales en las variables\(x_1, x_2, \cdots, x_n\) que también está en forma de fila-escalón reducido. La matriz\(A\) divide el conjunto de variables en dos tipos diferentes. Decimos que\(x_i\) es una variable básica siempre que\(A\) tenga un número de columna inicial\(1\) en\(i\), es decir, cuando la columna\(i\) es una columna pivotante. De lo contrario decimos que\(x_i\) es una variable libre.
Recordar Ejemplo 1.3.8.
Encuentra las variables básicas y libres en el sistema\[\begin{array}{c} x+2y-z+w=3 \\ x+y-z+w=1 \\ x+3y-z+w=5 \end{array}\nonumber \]
Solución
Recordemos de la solución del Ejemplo 1.3.8 que la forma fila-escalón de la matriz aumentada de este sistema viene dada por\[\left [ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Puedes ver que las columnas\(1\) y\(2\) son columnas pivotes. Estas columnas corresponden a variables\(x\) y\(y\), haciendo de éstas las variables básicas. Columnas\(3\) y no\(4\) son columnas pivotes, lo que significa que\(z\) y\(w\) son variables libres.
Podemos escribir la solución a este sistema como\[\begin{array}{c} x=-1+s-t \\ y=2 \\ z=s \\ w=t \end{array}\nonumber \]
Aquí las variables libres se escriben como parámetros, y las variables básicas están dadas por funciones lineales de estos parámetros.
En general, todas las soluciones se pueden escribir en términos de las variables libres. En tal descripción, las variables libres pueden tomar cualquier valor (se convierten en parámetros), mientras que las variables básicas se convierten en funciones lineales simples de estos parámetros. En efecto, una variable básica\(x_i\) es una función lineal de solo aquellas variables libres\(x_j\) con\(j>i\). Esto lleva a la siguiente observación.
Si\(x_i\) es una variable básica de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, entonces cualquier solución del sistema con\(x_j=0\) para todas esas variables libres\(x_j\) con también\(j>i\) debe tener\(x_i=0\).
Utilizando esta proposición, probamos un lema que se utilizará en la prueba del resultado principal de esta sección a continuación.
Let\(A\) y\(B\) ser dos matrices aumentadas distintas para dos sistemas homogéneos de\(m\) ecuaciones en\(n\) variables, tales que\(A\) y\(B\) están cada una en fila-escalón reducido. Entonces, los dos sistemas no tienen exactamente las mismas soluciones.
- Prueba
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Con respecto a los sistemas lineales asociados a las matrices\(A\) y\(B\), hay dos casos a considerar:
- Caso\(1\): los dos sistemas tienen las mismas variables básicas
- Caso\(2\): los dos sistemas no tienen las mismas variables básicas
En caso\(1\) de que las dos matrices tengan exactamente las mismas posiciones de pivote. Sin embargo, dado que\(A\) y no\(B\) son idénticas, hay alguna fila de la\(A\) cual es diferente de la fila correspondiente de\(B\) y sin embargo las filas tienen cada una un pivote en la misma posición de columna. Dejar\(i\) ser el índice de esta posición de columna. Dado que las matrices están en forma de fila reducida, las dos filas deben diferir en alguna entrada de una columna\(j>i\). Que estas entradas estén\(a\) dentro\(A\) y\(b\) dentro\(B\), dónde\(a \neq b\). Ya que\(A\) está en forma de fila-escalón reducido, si\(x_j\) fuera una variable básica para su sistema lineal, tendríamos\(a=0\). De igual manera, si\(x_j\) fuera una variable básica para el sistema lineal de la matriz\(B\), tendríamos\(b=0\). Dado que\(a\) y\(b\) son desiguales, ambos no pueden ser iguales a\(0\), y por lo tanto\(x_j\) no pueden ser una variable básica para ambos sistemas lineales. Sin embargo, dado que los sistemas tienen las mismas variables básicas, entonces\(x_j\) debe ser una variable libre para cada sistema. Ahora miramos las soluciones de los sistemas en los que\(x_j\) se establece igual a\(1\) y todas las demás variables libres se establecen iguales a\(0\). Para esta elección de parámetros, la solución del sistema para matriz\(A\) tiene\(x_j=-a\), mientras que la solución del sistema para matriz\(B\) tiene\(x_j=-b\), de manera que los dos sistemas tienen soluciones diferentes.
En caso\(2\) de que exista una variable\(x_i\) que es una variable básica para una matriz, digamos\(A\), y una variable libre para la otra matriz\(B\). El sistema para matriz\(B\) tiene una solución en la que\(x_i=1\) y\(x_j=0\) para todas las demás variables libres\(x_j\). Sin embargo, por Proposición\(\PageIndex{1}\) esto no puede ser una solución del sistema para la matriz\(A\). Esto completa la prueba del caso\(2\).
Ahora, decimos que la matriz\(B\) es equivalente a la matriz\(A\) siempre que se\(B\) pueda obtener a partir de la realización\(A\) de una secuencia de operaciones de fila elemental comenzando con\(A\). La importancia de este concepto radica en el siguiente resultado.
Los dos sistemas lineales de ecuaciones correspondientes a dos matrices aumentadas equivalentes tienen exactamente las mismas soluciones.
- Prueba
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La prueba de este teorema se deja como ejercicio.
Ahora, podemos usar Lema\(\PageIndex{1}\) y Teorema\(\PageIndex{1}\) para probar el resultado principal de esta sección.
Cada matriz\(A\) es equivalente a una matriz única en forma de fila reducida.
- Prueba
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Dejar\(A\) ser una\(m \times n\) matriz y dejar\(B\) y\(C\) ser matrices en forma reducida fila-escalón, cada una equivalente a\(A\). Baste con demostrarlo\(B=C\).
\(A^{+}\)Sea la matriz\(A\) aumentada con una nueva columna más a la derecha compuesta enteramente por ceros. De igual manera, aumentar las matrices\(B\) y\(C\) cada una con una columna más a la derecha de ceros para obtener\(B^{+}\) y\(C^{+}\). Nótese que\(B^{+}\) y\(C^{+}\) son matrices en forma de escalón reducido que se obtienen\(A^{+}\) aplicando respectivamente la misma secuencia de operaciones de fila elemental que se utilizaron para obtener\(B\) y a\(C\) partir de\(A\).
Ahora,\(A^{+}\),\(B^{+}\), y todos\(C^{+}\) pueden considerarse como matrices aumentadas de sistemas lineales homogéneos en las variables\(x_1, x_2, \cdots, x_n\). Porque\(B^{+}\) y\(C^{+}\) son cada uno equivalente a\(A^{+}\), Teorema\(\PageIndex{1}\) asegura que los tres sistemas lineales homogéneos tengan exactamente las mismas soluciones. Por Lemma\(\PageIndex{1}\) concluimos que\(B^{+}=C^{+}\). Por construcción, también debemos tener\(B=C\).
Según este teorema podemos decir que cada matriz\(A\) tiene una forma única de fila-escalón reducida.