1.5: Rango y Sistemas Homogéneos

Rango y Sistemas Homogéneos

Existe un tipo especial de sistema que requiere estudio adicional. Este tipo de sistema se denomina sistema homogéneo de ecuaciones, el cual definimos anteriormente en la Definición 1.2.3. Nuestro enfoque en esta sección es considerar qué tipos de soluciones son posibles para un sistema homogéneo de ecuaciones.

Considera la siguiente definición.

Definición\(\PageIndex{1}\): Trivial Solution

Considerar el sistema homogéneo de ecuaciones dado por\[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}= 0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}= 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}= 0 \end{array}\nonumber \] Entonces, siempre\(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) es una solución a este sistema. A esto lo llamamos la solución trivial.

Si el sistema tiene una solución en la que no todos los\(x_1, \cdots, x_n\) son iguales a cero, entonces llamamos a esta solución no trivial. La solución trivial no nos dice mucho sobre el sistema, ¡ya que dice eso\(0=0\)! Por lo tanto, al trabajar con sistemas homogéneos de ecuaciones, queremos saber cuándo el sistema tiene una solución no trivial.

Supongamos que tenemos un sistema homogéneo de\(m\) ecuaciones, usando\(n\) variables, y supongamos que\(n > m\). En otras palabras, hay más variables que ecuaciones. Entonces, resulta que este sistema siempre tiene una solución no trivial. No sólo el sistema tendrá una solución no trivial, sino que también tendrá infinitamente muchas soluciones. También es posible, pero no requerido, tener una solución no trivial si\(n=m\) y\(n<m\).

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Solutions to a Homogeneous System of Equations

Encuentra las soluciones no triviales al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones\[\begin{array}{c} 2x + y - z = 0 \\ x + 2y - 2z = 0 \end{array}\nonumber \]

Solución

Observe que este sistema tiene\(m = 2\) ecuaciones y\(n = 3\) variables, entonces\(n>m\). Por lo tanto, por nuestra discusión anterior, esperamos que este sistema tenga infinitamente muchas soluciones.

El proceso que utilizamos para encontrar las soluciones para un sistema homogéneo de ecuaciones es el mismo proceso que utilizamos en la sección anterior. Primero, construimos la matriz aumentada, dada por\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Entonces, llevamos esta matriz a su forma de fila-escalón reducida, dada a continuación. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]El sistema de ecuaciones correspondiente es\[\begin{array}{c} x = 0 \\ y - z =0 \\ \end{array}\nonumber \] Dado que no\(z\) está refrenado por ninguna ecuación, sabemos que esta variable se convertirá en nuestro parámetro. Vamos\(z=t\) donde\(t\) está cualquier número. Por lo tanto, nuestra solución tiene la forma\[\begin{array}{c} x = 0 \\ y = z = t \\ z = t \end{array}\nonumber \] De ahí que este sistema tenga infinitamente muchas soluciones, con un solo parámetro\(t\).

Supongamos que íbamos a escribir la solución al ejemplo anterior en otra forma. Específicamente, se\[\begin{array}{c} x = 0 \\ y = 0 + t \\ z = 0 + t \end{array}\nonumber \] puede escribir como\[\left[ \begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right] + t \left[ \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\nonumber \] Aviso que hemos construido una columna a partir de las constantes en la solución (todas iguales a\(0\)), así como una columna correspondiente a los coeficientes\(t\) en cada ecuación. Si bien discutiremos más esta forma de solución en otros capítulos, por ahora consideraremos la columna de coeficientes del parámetro\(t\). En este caso, esta es la columna\(\left[ \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\).

Hay un nombre especial para esta columna, que es solución básica. Las soluciones básicas de un sistema son columnas construidas a partir de los coeficientes sobre parámetros en la solución. A menudo denotamos soluciones básicas por\(X_1, X_2\) etc., dependiendo de cuántas soluciones se produzcan. Por lo tanto, Ejemplo\(\PageIndex{1}\) tiene la solución básica\(X_1 = \left[ \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\).

Exploramos esto más a fondo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Basic Solutions of a Homogeneous System

Considera el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones. \[\begin{array}{c} x + 4y + 3z = 0 \\ 3x + 12y + 9z = 0 \end{array}\nonumber \]Encuentra las soluciones básicas para este sistema.

Solución

La matriz aumentada de este sistema y la forma fila-escalón reducida resultante son\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 3 & 0 \\ 3 & 12 & 9 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Cuando se escriben en ecuaciones, este sistema viene dado por\[x + 4y +3z=0\nonumber \] Aviso que solo\(x\) corresponde a una columna pivote. En este caso, tendremos dos parámetros, uno para\(y\) y otro para\(z\). Dejar\(y = s\) y\(z=t\) para cualquier número\(s\) y\(t\). Entonces, nuestra solución se convierte en\[\begin{array}{c} x = -4s - 3t \\ y = s \\ z = t \end{array}\nonumber \] cual se puede escribir como\[\left[ \begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right] + s \left[ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] + t \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \] Puedes ver aquí que tenemos dos columnas de coeficientes correspondientes a parámetros, específicamente una para\(s\) y otra para\(t\). Por lo tanto, ¡este sistema tiene dos soluciones básicas! Estos son\[X_1= \left[ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right], X_2 = \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Presentamos ahora una nueva definición.

Definición\(\PageIndex{2}\): Linear Combination

Let\(X_1,\cdots ,X_n,V\) Ser matrices de columna. Entonces\(V\) se dice que es una combinación lineal de las columnas\(X_1,\cdots , X_n\) si existen escalares,\(a_{1},\cdots ,a_{n}\) tal que\[V = a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n\nonumber \]

Un resultado notable de esta sección es que una combinación lineal de las soluciones básicas vuelve a ser una solución al sistema. Aún más notable es que cada solución puede escribirse como una combinación lineal de estas soluciones. Por lo tanto, si tomamos una combinación lineal de las dos soluciones a Ejemplo\(\PageIndex{2}\), esto también sería una solución. Por ejemplo, podríamos tomar la siguiente combinación lineal

\[3 \left[ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] + 2 \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 0\\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right]\nonumber \]Deberías tomarte un momento para verificar que\[\left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right]\nonumber \]

es de hecho una solución al sistema en Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

Otra forma en la que podemos encontrar más información sobre las soluciones de un sistema homogéneo es considerar el rango de la matriz de coeficientes asociados. Ahora definimos lo que se entiende por el rango de una matriz.

Definición\(\PageIndex{3}\): Rank of a Matrix

Dejar\(A\) ser una matriz y considerar cualquier forma fila-escalón de\(A\). Entonces, el número\(r\) de entradas principales de\(A\) no depende de la forma fila-escalón que elijas, y se llama el rango de\(A\). Lo denotamos por Rango (\(A\)).

Del mismo modo, podríamos contar el número de posiciones de pivote (o columnas de pivote) para determinar el rango de\(A\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding the Rank of a Matrix

Considera la matriz\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 9 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} \right]\nonumber \] ¿Cuál es su rango?

Solución

Primero, necesitamos encontrar la forma reducida de fila-escalón de\(A\). A través del algoritmo habitual, encontramos que esto es\[\left[ \begin{array}{rrr} \fbox{1} & 0 & -1 \\ 0 & \fbox{1} & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Aquí tenemos dos entradas principales, o dos posiciones de pivote, que se muestran arriba en cajas.El rango de\(A\) es\(r = 2.\)

Observe que habríamos logrado la misma respuesta si hubiéramos encontrado la forma fila-escalón en\(A\) lugar de la forma fila-escalón reducida.

Supongamos que tenemos un sistema homogéneo de\(m\) ecuaciones en\(n\) variables, y supongamos que\(n > m\). De nuestra discusión anterior, sabemos que este sistema tendrá infinitamente muchas soluciones. Si consideramos el rango de la matriz de coeficientes de este sistema, podemos conocer aún más sobre la solución. Tenga en cuenta que estamos viendo solo la matriz de coeficientes, no toda la matriz aumentada.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Rank and Solutions to a Homogeneous System

Dejar\(A\) ser la matriz de\(m \times n\) coeficientes correspondiente a un sistema homogéneo de ecuaciones, y supongamos que\(A\) tiene rango\(r\). Entonces, la solución al sistema correspondiente tiene\(n-r\) parámetros.

Consideremos nuestro Ejemplo anterior\(\PageIndex{2}\) en el contexto de este teorema. El sistema en este ejemplo tiene\(m = 2\) ecuaciones en\(n = 3\) variables. Primero, porque\(n>m\), sabemos que el sistema tiene una solución no trivial, y por lo tanto infinitamente muchas soluciones. Esto nos dice que la solución contendrá al menos un parámetro. ¡El rango de la matriz de coeficientes puede decirnos aún más sobre la solución! El rango de la matriz de coeficientes del sistema es\(1\), ya que tiene una entrada principal en forma de fila-escalón. El teorema nos\(\PageIndex{1}\) dice que la solución tendrá\(n-r = 3-1 = 2\) parámetros. Se puede comprobar que esto es cierto en la solución a Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

Observe que si\(n=m\) o\(n<m\), es posible tener ya sea una solución única (que será la solución trivial) o infinitamente muchas soluciones.

Aquí no nos limitamos a sistemas homogéneos de ecuaciones. El rango de una matriz se puede utilizar para conocer las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones lineales. En la sección anterior, discutimos que un sistema de ecuaciones no puede tener solución, una solución única, o infinitamente muchas soluciones. Supongamos que el sistema es consistente, sea homogéneo o no. El siguiente teorema nos dice cómo podemos usar el rango para conocer el tipo de solución que tenemos.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Rank and Solutions to a Consistent System of Equations

Dejar\(A\) ser la matriz\(m \times \left( n+1 \right)\) aumentada correspondiente a un sistema consistente de ecuaciones en\(n\) variables, y supongamos que\(A\) tiene rango\(r\). Entonces

1. el sistema tiene una solución única si\(r = n\)
2. el sistema tiene infinitamente muchas soluciones si\(r < n\)

No presentaremos una prueba formal de ello, pero consideraremos las siguientes discusiones.

1. No Solución El teorema anterior supone que el sistema es consistente, es decir, que tiene una solución. Resulta que es posible que la matriz aumentada de un sistema sin solución tenga algún rango\(r\) siempre y cuando\(r>1\). Por lo tanto, ¡debemos saber que el sistema es consistente para poder utilizar este teorema!
2. Solución Única Supongamos\(r=n\). Entonces, hay una posición de pivote en cada columna de la matriz de coeficientes de\(A\). De ahí que exista una solución única.
3. Infinitamente Muchas Soluciones Supongamos\(r<n\). Entonces hay infinitamente muchas soluciones. Hay menos posiciones de pivote (y por lo tanto menos entradas iniciales) que columnas, lo que significa que no todas las columnas son columnas pivotantes. Las columnas que son columnas\(not\) pivotes corresponden a parámetros. De hecho, en este caso tenemos\(n-r\) parámetros.