1.3: Eliminación gaussiana
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El trabajo que hicimos en el apartado anterior siempre encontrará la solución al sistema. En esta sección, exploraremos una forma menos engorrosa de encontrar las soluciones. Primero, representaremos un sistema lineal con una matriz aumentada. Una matriz es simplemente una matriz rectangular de números. El tamaño o dimensión de una matriz se define como\(m\times n\) donde\(m\) es el número de filas y\(n\) es el número de columnas. Para construir una matriz aumentada a partir de un sistema lineal, creamos una matriz de coeficientes a partir de los coeficientes de las variables en el sistema, así como una matriz constante a partir de las constantes. Los coeficientes de una ecuación del sistema crean una fila de la matriz aumentada.
Por ejemplo, considere el sistema lineal en el Ejemplo 1.2.3\[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ 2x+7y+14z=58 \\ 2y+5z=19 \end{array}\nonumber \] Este sistema puede escribirse como una matriz aumentada, de la siguiente manera\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 2 & 7 & 14 & 58 \\ 0 & 2 & 5 & 19 \end{array} \right] \nonumber \]
Observe que tiene exactamente la misma información que el sistema original. Aquí se entiende que la primera columna contiene los coeficientes de\(x\) en cada ecuación, en orden,\(\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right] .\) De igual manera, creamos una columna a partir de los coeficientes\(y\) en cada ecuación,\(\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 7 \\ 2 \end{array} \right]\) y una columna de los coeficientes\(z\) en cada ecuación,\(\left[ \begin{array}{r} 6 \\ 14 \\ 5 \end{array} \right] .\) Para un sistema de más de tres variables, continuaríamos de esta manera construyendo una columna para cada variable. Del mismo modo, para un sistema de menos de tres variables, simplemente construimos una columna para cada variable.
Finalmente, construimos una columna a partir de las constantes de las ecuaciones,\(\left[ \begin{array}{r} 25\\ 58\\ 19 \end{array} \right] .\)
Las filas de la matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, la fila superior en la matriz aumentada,\(\left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 6 & | & 25 \end{array} \right]\) corresponde a la ecuación\[x+3y+6z=25.\nonumber \]
Considera la siguiente definición.
Para un sistema lineal de la forma\[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber \] donde las variables\(x_{i}\) son\(a_{ij}\) y las constantes y\(b_{i}\) son, la matriz aumentada de este sistema viene dada por\[\left[ \begin{array}{rrr|r} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array} \right]\nonumber \]
Ahora, considere las operaciones elementales en el contexto de la matriz aumentada. Las operaciones elementales en la Definición 1.2.4 se pueden usar en las filas tal como las usamos en ecuaciones anteriormente. Los cambios en un sistema de ecuaciones como resultado de una operación elemental son equivalentes a los cambios en la matriz aumentada resultantes de la operación de fila correspondiente. Tenga en cuenta que el Teorema 1.2.1 implica que cualquier operación de fila elemental utilizada en una matriz aumentada no cambiará la solución al sistema de ecuaciones correspondiente. Ahora definimos formalmente las operaciones elementales de fila. Estas son la herramienta clave que usaremos para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones.
Las operaciones elementales de fila (también conocidas como operaciones de fila) consisten en lo siguiente
- Cambiar dos filas.
- Multiplica una fila por un número distinto de cero.
- Reemplace una fila por cualquier múltiplo de otra fila que se le haya agregado.
Recordemos cómo resolvimos Ejemplo 1.2.3. Podemos hacer exactamente los mismos pasos anteriores, excepto ahora en el contexto de una matriz aumentada y usando operaciones de fila. La matriz aumentada de este sistema es\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 2 & 7 & 14 & 58 \\ 0 & 2 & 5 & 19 \end{array} \right]\nonumber \] Así el primer paso para resolver el sistema dado por (1.2.5) sería tomar\(\left( -2\right)\) veces la primera fila de la matriz aumentada y agregarla a la segunda fila,\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 2 & 5 & 19 \end{array} \right]\nonumber \] Observe cómo corresponde esto a (1.2.6). Siguiente tomar\(\left( -2\right)\) veces la segunda fila y sumar a la tercera,\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right]\nonumber \] Esta matriz aumentada corresponde al sistema\[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ y+2z=8 \\ z=3 \end{array}\nonumber \] que es el mismo que (1.2.7). Por sustitución posterior se obtiene la solución\(x=1,y=2,\) y\(z=3.\)
A través de un procedimiento sistemático de operaciones de fila, podemos simplificar una matriz aumentada y llevarla a la forma fila-escalón o a la forma fila-escalón reducida, que definimos a continuación. Estas formas se utilizan para encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones correspondientes a la matriz aumentada.
En las siguientes definiciones, el término entrada principal se refiere a la primera entrada distinta de cero de una fila cuando se escanea la fila de izquierda a derecha.
Una matriz aumentada está en forma de fila-escalón si
- Todas las filas distintas de cero están por encima de cualquier fila de ceros.
- Cada entrada inicial de una fila está en una columna a la derecha de las entradas principales de cualquier fila por encima de ella.
- Cada entrada inicial de una fila es igual a\(1\).
También consideramos otra forma reducida de la matriz aumentada que tiene una condición adicional.
Una matriz aumentada está en forma de fila reducida si
- Todas las filas distintas de cero están por encima de cualquier fila de ceros.
- Cada entrada inicial de una fila está en una columna a la derecha de las entradas principales de cualquier fila por encima de ella.
- Cada entrada inicial de una fila es igual a\(1\).
- Todas las entradas en una columna por encima y por debajo de una entrada inicial son cero.
Observe que las tres primeras condiciones en una matriz de forma fila-escalón reducida son las mismas que las de la forma fila-escalón.
Por lo tanto, cada matriz de forma fila-escalón reducida también está en forma de fila-escalón. Lo contrario no es necesariamente cierto; no podemos suponer que cada matriz en forma fila-escalón también está en forma de fila-escalón reducida. Sin embargo, a menudo sucede que la forma fila-escalón es suficiente para proporcionar información sobre la solución de un sistema.
Los siguientes ejemplos describen matrices en estas diversas formas. Como ejercicio, tómate el tiempo para verificar cuidadosamente que están en la forma especificada.
Las siguientes matrices aumentadas no están en forma de fila-escalón (y por lo tanto tampoco en forma de fila-escalón reducido).
\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 4 & 0 & 7 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 \\ 7 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \nonumber\]
Las siguientes matrices aumentadas están en forma de fila-escalón, pero no en forma de fila-escalón reducido. \[\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 6 & 5 & 8 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Observe que podríamos aplicar más operaciones de fila a estas matrices para llevarlas a una forma de escalón de fila reducida. Tómese el tiempo para probarlo por su cuenta. Considera las siguientes matrices, las cuales están en forma de escalón reducido.
Las siguientes matrices aumentadas están en forma de escalón de filas reducidas. \[\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
Una forma en que la forma fila-escalón de una matriz es útil en la identificación de las posiciones de pivote y columnas de pivote de la matriz.
Una posición de pivote en una matriz es la ubicación de una entrada principal en la forma fila-escalón de una matriz.
Una columna de pivote es una columna que contiene una posición de pivote.
Por ejemplo, considera lo siguiente.
Dejar\[A=\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 4 & 10 \end{array} \right]\nonumber \] ¿Dónde están las posiciones de pivote y las columnas de pivote de la matriz aumentada\(A\)?
Solución
La forma fila-escalón de esta matriz es\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Esto es todo lo que necesitamos en este ejemplo, pero tenga en cuenta que esta matriz no está en forma de fila-escalón reducida.
Para identificar las posiciones de pivote en la matriz original, buscamos las entradas principales en la forma fila-escalón de la matriz. Aquí, la entrada en la primera fila y primera columna, así como la entrada en la segunda fila y segunda columna son las entradas principales. Por lo tanto, estas ubicaciones son las posiciones de pivote. Identificamos las posiciones de pivote en la matriz original, como en lo siguiente:\[\left[ \begin{array}{rrr|r} \fbox{1} & 2 & 3 & 4 \\ 3 & \fbox{2} & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 4 & 10 \end{array} \right]\nonumber \] Así las columnas pivotantes en la matriz son las dos primeras columnas.
El siguiente es un algoritmo para llevar una matriz a la forma fila-escalón y la forma fila-escalón reducida. Es posible que desee utilizar este algoritmo para llevar la matriz anterior a la forma fila-escalón o la forma reducida de fila-escalón usted mismo para la práctica.
Este algoritmo proporciona un método para usar operaciones de fila para tomar una matriz a su forma de escalón de fila reducida. Comenzamos con la matriz en su forma original.
- A partir de la izquierda, encuentra la primera columna distinta de cero. Esta es la primera columna de pivote, y la posición en la parte superior de esta columna es la primera posición de pivote. Cambie de fila si es necesario para colocar un número distinto de cero en la primera posición de pivote.
- Utilice operaciones de fila para hacer que las entradas debajo de la primera posición de pivote (en la primera columna de pivote) sean iguales a cero.
- Ignorando la fila que contiene la primera posición de pivote, repita los pasos 1 y 2 con las filas restantes. Repita el proceso hasta que no haya más filas para modificar.
- Divida cada fila distinta de cero por el valor de la entrada principal, de modo que la entrada principal se convierta en\(1\). La matriz estará entonces en forma de fila-escalón.
El siguiente paso llevará la matriz desde la forma fila-escalón a la forma de fila-escalón reducida.
- Al moverse de derecha a izquierda, utilice operaciones de fila para crear ceros en las entradas de las columnas pivotantes que están por encima de las posiciones de pivote. El resultado será una matriz en forma de fila-escalón reducido.
La mayoría de las veces aplicaremos este algoritmo a una matriz aumentada para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, podemos usar este algoritmo para calcular la forma de escalón de fila reducida de cualquier matriz que podría ser útil en otras aplicaciones.
Considera el siguiente ejemplo de Algoritmo\(\PageIndex{1}\).
Deja\[A = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & -5 & -4 \\ 1 & 4 & 3 \\ 5 & 10 & 7 \end{array} \right]\nonumber \] Encuentra la forma fila-escalón de\(A\). Luego complete el proceso hasta que\(A\) esté en forma de fila-escalón reducido.
Solución
Al trabajar a través de este ejemplo, utilizaremos los pasos descritos en Algoritmo\(\PageIndex{1}\).
- La primera columna pivote es la primera columna de la matriz, ya que esta es la primera columna distinta de cero desde la izquierda. De ahí que la primera posición de pivote sea la de la primera fila y la primera columna. Cambia las dos primeras filas para obtener una entrada distinta de cero en la primera posición de pivote, descrita en un cuadro a continuación. \[\left[ \begin{array}{rrr} \fbox{1} & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 5 & 10 & 7 \end{array} \right]\nonumber \]
- El paso dos consiste en crear ceros en las entradas debajo de la primera posición de pivote. El primer ingreso de la segunda fila ya es un cero. Todo lo que tenemos que hacer es restar\(5\) veces la primera fila de la tercera fila. La matriz resultante es\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 10 & 8 \end{array} \right]\nonumber \]
- Ahora ignora la fila superior. Aplicar pasos\(1\) y\(2\) a la matriz más pequeña\[\left[ \begin{array}{rr} -5 & -4\\ 10 & 8 \end{array} \right]\nonumber \] En esta matriz, la primera columna es una columna de pivote, y\(-5\) está en la primera posición de pivote. Por lo tanto, necesitamos crear un cero por debajo de él. Para ello, agregue\(2\) veces la primera fila (de esta matriz) a la segunda. La matriz resultante es\[\left[ \begin{array}{rr} -5 & -4\\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Nuestra matriz original ahora parece\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Podemos ver que ya no hay filas para modificar.
- Ahora, necesitamos crear\(1\) s líderes en cada fila. La primera fila ya tiene un liderato\(1\) por lo que no se necesita trabajo aquí. Divide la segunda fila por\(-5\) para crear un líder\(1\). La matriz resultante es\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Esta matriz se encuentra ahora en forma de fila-escalón.
- Ahora crea ceros en las entradas por encima de las posiciones de pivote en cada columna, con el fin de llevar esta matriz hasta la forma reducida de fila-escalón. ¡Observe que no hay posición de pivote en la tercera columna así que no necesitamos crear ceros en esta columna! La columna en la que necesitamos crear ceros es la segunda. Para ello, restar\(4\) veces la segunda fila de la primera fila. La matriz resultante es\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Esta matriz se encuentra ahora en forma reducida de fila-escalón.
El algoritmo anterior le brinda una manera simple de obtener la forma fila-escalón y la forma de fila-escalón reducida de una matriz. La idea principal es hacer operaciones de fila de tal manera que terminen con una matriz en forma de fila-escalón o forma de fila-escalón reducida. Este proceso es importante porque la matriz resultante permitirá describir de manera significativa las soluciones al sistema lineal de ecuaciones correspondiente.
En el siguiente ejemplo, observamos cómo resolver un sistema de ecuaciones utilizando la matriz aumentada correspondiente.
Dar la solución completa al siguiente sistema de ecuaciones\[\begin{array}{c} 2x+4y-3z=-1\\ 5x+10y-7z=-2\\ 3x+6y+5z=9 \end{array}\nonumber \]
Solución
La matriz aumentada para este sistema es\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 5 & 10 & -7 & -2 \\ 3 & 6 & 5 & 9 \end{array} \right]\nonumber \]
Para encontrar la solución a este sistema, deseamos llevar la matriz aumentada a una forma reducida de fila-escalón. Lo haremos usando Algoritmo\(\PageIndex{1}\). Observe que la primera columna es distinta de cero, por lo que esta es nuestra primera columna pivote. La primera entrada en la primera fila,\(2\), es la primera entrada principal y está en la primera posición de pivote. Usaremos operaciones de fila para crear ceros en las entradas debajo del\(2\). Primero, reemplace la segunda fila\(-5\) por veces la primera fila más\(2\) por la segunda fila. Esto rinde\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 5 & 9 \end{array} \right]\nonumber \] Ahora, reemplace la tercera fila\(-3\) por veces la primera fila más a\(2\) veces la tercera fila. Esto rinde\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 21 \end{array} \right]\nonumber \] Ahora las entradas en la primera columna debajo de la posición de pivote son ceros. Ahora buscamos la segunda columna pivote, que en este caso es la columna tres. Aquí, el\(1\) en la segunda fila y tercera columna está en la posición de pivote. Necesitamos hacer solo una operación de fila para crear un cero por debajo del\(1\).
Tomando\(-1\) tiempos la segunda fila y sumarla a la tercera fila rinde\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 20 \end{array} \right]\nonumber \]
Podríamos proceder con el algoritmo para llevar esta matriz a la forma fila-escalón o a la forma fila-escalón reducida. No obstante, recordemos que estamos buscando las soluciones al sistema de ecuaciones. Echa otro vistazo a la tercera fila de la matriz. Observe que corresponde a la ecuación No\[0x+0y+0z=20\nonumber \] hay solución a esta ecuación porque para todos\(x,y,z\), el lado izquierdo será igual\(0\) y\(0\neq 20.\) Esto demuestra que no hay solución al sistema dado de ecuaciones. En otras palabras, este sistema es inconsistente.
El siguiente es otro ejemplo de cómo encontrar la solución a un sistema de ecuaciones llevando la matriz aumentada correspondiente a forma de fila-escalón reducida.
Dar la solución completa al sistema de ecuaciones\[\begin{array}{c} 3x-y-5z=9 \\ y-10z=0 \\ -2x+y=-6 \end{array}\label{eq:1.8}\]
Solución
La matriz aumentada de este sistema es Con el\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & -6 \end{array} \right]\nonumber \] fin de encontrar la solución a este sistema, llevaremos la matriz aumentada a forma de fila-escalón reducida, utilizando Algoritmo\(\PageIndex{1}\). La primera columna es la primera columna de pivote. Queremos usar operaciones de fila para crear ceros debajo de la primera entrada en esta columna, que está en la primera posición de pivote. Reemplace la tercera fila con\(2\) veces la primera fila agregada a\(3\) veces la tercera fila. Esto da
\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Ahora, hemos creado ceros debajo del\(3\) en la primera columna, así pasamos a la segunda columna pivote (que es la segunda columna) y repetimos el procedimiento. Toma\(-1\) tiempos la segunda fila y agrega a la tercera fila. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]La entrada por debajo de la posición de pivote en la segunda columna es ahora un cero. Observe que no tenemos más columnas pivotantes porque solo tenemos dos entradas principales.
En esta etapa, también queremos que las entradas principales sean iguales a una. Para ello, divida la primera fila por\(3\). \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & 3 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Esta matriz se encuentra ahora en forma de fila-escalón.
Continuemos con las operaciones de fila hasta que la matriz esté en forma de escalón de fila reducida. Esto implica crear ceros por encima de las posiciones de pivote en cada columna de pivote. Esto requiere solo un paso, que es agregar\(\frac{1}{3}\) veces la segunda fila a la primera fila. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Esto es en forma de fila reducida, lo que debe verificar usando Definición\(\PageIndex{4}\). Las ecuaciones correspondientes a esta forma reducida de fila-escalón son\[\begin{array}{c} x - 5z=3 \\ y - 10z = 0 \end{array}\nonumber \] o\[\begin{array}{c} x=3+5z \\ y = 10z \end{array}\nonumber \]
Observe que no\(z\) está refrenado por ninguna ecuación. De hecho,\(z\) puede igualar cualquier número. Por ejemplo, podemos dejar\(z = t\), donde podemos elegir\(t\) ser cualquier número. En este contexto\(t\) se denomina parámetro. Por lo tanto, el conjunto de soluciones de este sistema es\[\begin{array}{c} x=3+5t \\ y=10t \\ z=t \end{array}\nonumber \] donde\(t\) es arbitrario. El sistema tiene un conjunto infinito de soluciones que son dadas por estas ecuaciones. Para cualquier valor de\(t\) seleccionamos,\(x, y,\) y\(z\) estará dado por las ecuaciones anteriores. Por ejemplo, si elegimos\(t=4\) entonces la solución correspondiente sería\[\begin{array}{c} x = 3 + 5 (4) = 23\\ y = 10(4)=40 \\ z=4 \end{array}\nonumber \]
En Ejemplo\(\PageIndex{7}\) la solución implicó un parámetro. Puede suceder que la solución a un sistema implique más de un parámetro, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Encuentre la solución para el sistema\[\begin{array}{c} x+2y-z+w=3 \\ x+y-z+w=1 \\ x+3y-z+w=5 \end{array}\nonumber \]
Solución
La matriz aumentada es\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 & 5 \end{array} \right]\nonumber \] Deseamos llevar esta matriz a la forma fila-escalón. Aquí, describiremos las operaciones de fila utilizadas. Sin embargo, asegúrate de entender los pasos en términos de Algoritmo\(\PageIndex{1}\).
Toma\(-1\) tiempos la primera fila y agrega a la segunda. Después toma\(-1\) tiempos la primera fila y agrega a la tercera. Esto rinde\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
Ahora agrega la segunda fila a la tercera fila y divide la segunda fila por\(-1\). \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \label{twoparameters1}\]
Esta matriz está en forma fila-escalón y podemos ver eso\(x\) y\(y\) corresponder a columnas pivotantes, mientras\(z\) y no\(w\) lo hacemos. Por lo tanto, asignaremos parámetros a las variables\(z\) y\(w\). Asignar el parámetro\(s\) a\(z\) y el parámetro\(t\) a\(w.\) Entonces la primera fila produce la ecuación\(x+2y-s+t=3\), mientras que la segunda fila produce la ecuación\(y=2\). Ya que\(y=2\), la primera ecuación se convierte en\(x+4-s+t=3\) mostrar que la solución viene dada por\[\begin{array}{c} x=-1+s-t \\ y=2 \\ z=s \\ w=t \end{array}\nonumber \] Es costumbre escribir esta solución en la forma\[\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -1+s-t \\ 2 \\ s \\ t \end{array} \right] \label{twoparameters2}\]
Este ejemplo muestra un sistema de ecuaciones con un conjunto de soluciones infinitas que depende de dos parámetros. Puede ser menos confuso en el caso de una solución infinita establecida colocar primero la matriz aumentada en forma de fila-escalón reducido en lugar de solo forma de fila-escalón antes de buscar escribir la descripción de la solución.
En los pasos anteriores, esto significa que no nos detenemos con la forma fila-escalón en la ecuación\(\eqref{twoparameters1}\). En cambio, primero lo colocamos en forma de fila-escalón reducido de la siguiente manera. \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]Entonces la solución es\(y=2\) de la segunda fila y\(x=-1+z-w\) de la primera. Así dejar\(z=s\) y\(w=t,\) la solución viene dada por\(\eqref{twoparameters2}\).
Aquí se puede ver que hay dos caminos hacia la respuesta correcta, que ambos dan la misma respuesta. De ahí que se pueda utilizar cualquiera de los dos enfoques. El proceso que usamos por primera vez en la solución anterior se llama Eliminación Gaussiana Este proceso implica llevar la matriz a la forma fila-escalón, convertir de nuevo a ecuaciones, y usar la sustitución posterior para encontrar la solución. Cuando realiza operaciones de fila hasta obtener una forma reducida de escalón de filas, el proceso se llama Eliminación Gauss-Jordan.
Ahora hemos encontrado soluciones para sistemas de ecuaciones sin solución e infinitamente muchas soluciones, con un parámetro así como dos parámetros. Recordemos los tres tipos de conjuntos de soluciones que discutimos en la sección anterior; ninguna solución, una solución e infinitamente muchas soluciones. Cada uno de estos tipos de soluciones se pudo identificar a partir de la gráfica del sistema. Resulta que también podemos identificar el tipo de solución a partir de la forma reducida fila-escalón de la matriz aumentada.
- No Solución: En el caso de que el sistema de ecuaciones no tenga solución, la forma fila-escalón de la matriz aumentada tendrá una fila de la forma\[\left[ \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{array} \right]\nonumber \] Esta fila indica que el sistema es inconsistente y no tiene solución.
- Una solución: En el caso de que el sistema de ecuaciones tenga una solución, cada columna de la matriz de coeficientes es una columna pivote. El siguiente es un ejemplo de una matriz aumentada en forma de fila reducida para un sistema de ecuaciones con una solución. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
- Infinitamente Muchas Soluciones: En el caso donde el sistema de ecuaciones tiene infinitamente muchas soluciones, la solución contiene parámetros. Habrá columnas de la matriz de coeficientes que no son columnas pivotantes. Los siguientes son ejemplos de matrices aumentadas en forma de escalón de filas reducidas para sistemas de ecuaciones con infinitamente muchas soluciones. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]o\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \end{array} \right]\nonumber \]