1.6: Equilibrar las reacciones químicas
- Page ID
- 114681
Las herramientas de álgebra lineal también pueden ser utilizadas en el área temática de Química, específicamente para equilibrar reacciones químicas.
Considere la reacción química\[SnO_{2}+H_{2}\rightarrow Sn+H_{2}O\nonumber \] Aquí los elementos involucrados son estaño (\(Sn\)), oxígeno (\(O\)) e hidrógeno (\(H\)). Se produce una reacción química y el resultado es una combinación de estaño (\(Sn\)) y agua (\(H_{2}O\)). Al considerar las reacciones químicas, queremos investigar con qué parte de cada elemento comenzamos y qué parte de cada elemento está involucrado en el resultado.
Una teoría importante que usaremos aquí es la teoría del balance de masas. Nos dice que no podemos crear o eliminar elementos dentro de una reacción química. Por ejemplo, en la expresión anterior, debemos tener el mismo número de oxígeno, estaño e hidrógeno en ambos lados de la reacción. Observe que actualmente no es así. Por ejemplo, hay dos átomos de oxígeno a la izquierda y sólo uno a la derecha. Para arreglar esto, queremos encontrar números\(x,y,z,w\) tales que\[xSnO_{2}+yH_{2}\rightarrow zSn+wH_{2}O\nonumber \] donde ambos lados de la reacción tengan el mismo número de átomos de los diversos elementos.
Este es un problema familiar. Podemos resolverlo estableciendo un sistema de ecuaciones en las variables\(x,y,z,w\). Por lo tanto necesitas\[\begin{array}{cl} Sn: & x=z \\ O: & 2x=w \\ H: & 2y=2w \end{array}\nonumber \]
Podemos reescribir estas ecuaciones como\[\begin{array}{cl} Sn: & x - z = 0 \\ O: & 2x - w = 0 \\ H: & 2y - 2w = 0 \end{array}\nonumber \]
La matriz aumentada para este sistema de ecuaciones viene dada por\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -2 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
La forma reducida de fila-escalón de esta matriz es\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
La solución viene dada por\[\begin{array}{c} x - \frac{1}{2} w = 0 \\ y - w = 0 \\ z - \frac{1}{2}w = 0 \end{array}\nonumber \]
que podemos escribir como\[\begin{array}{c} x = \frac{1}{2} t \\ y = t \\ z = \frac{1}{2}t \\ w = t \end{array}\nonumber \]
Por ejemplo, let\(w=2\) y esto rendiría\(x=1,y=2,\) y\(z=1.\) Podemos volver a poner estos valores en la expresión para la reacción que rinde\[SnO_{2}+2H_{2}\rightarrow Sn+2H_{2}O\nonumber \] Observe que cada lado de la expresión contiene el mismo número de átomos de cada elemento. Esto significa que conserva el número total de átomos, según sea necesario, y así la reacción química se equilibra.
Considera otro ejemplo.
El potasio se denota por\(K,\) oxígeno por\(O,\) fósforo por\(P\) e hidrógeno por\(H\). Considere la reacción dada por\[KOH+H_{3}PO_{4}\rightarrow K_{3}PO_{4}+H_{2}O\nonumber \]
Equilibrar esta reacción química.
Solución
Utilizaremos el mismo procedimiento anterior para resolver este problema. Necesitamos encontrar valores para\(x,y,z,w\) tales que\[xKOH+yH_{3}PO_{4}\rightarrow zK_{3}PO_{4}+wH_{2}O\nonumber \] preserven el número total de átomos de cada elemento.
Encontrar estos valores se puede hacer encontrando la solución al siguiente sistema de ecuaciones. \[\begin{array}{cl} K: & x=3z \\ O: & x+4y=4z+w \\ H: & x+3y=2w \\ P: & y=z \end{array}\nonumber \]
La matriz aumentada para este sistema es\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -4 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] y la forma reducida de fila-escalón es\[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
La solución viene dada por la\[\begin{array}{c} x - w = 0 \\ y - \frac{1}{3}w = 0 \\ z - \frac{1}{3}w = 0 \end{array}\nonumber \] cual se puede escribir como\[\begin{array}{c} x = t \\ y = \frac{1}{3}t \\ z = \frac{1}{3}t \\ w = t \end{array}\nonumber \]
Elija un valor para\(t\), digamos\(3\). Entonces\(w=3\) y esto rinde De\(x=3,y=1,z=1.\) ello se deduce que la reacción equilibrada viene dada por\[3KOH+1H_{3}PO_{4}\rightarrow 1K_{3}PO_{4}+3H_{2}O\nonumber \] Tenga en cuenta que esto da como resultado el mismo número de átomos en ambos lados.
Por supuesto, estos números que estás encontrando normalmente serían el número de moles de las moléculas en cada lado. Así tres moles de\(KOH\) agregado a un mol de\(H_{3}PO_{4}\) rinden un mol de\(K_{3}PO_{4}\) y tres moles de\(H_{2}O\).