2.3: El primer ingreso de un producto
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En secciones anteriores, se utilizaron las entradas de una matriz para describir la acción de adición de matriz y multiplicación escalar. También podemos estudiar la multiplicación de matrices utilizando las entradas de matrices.
Cuál es la\(ij^{th}\) entrada de\(AB?\) Es la entrada en la\(i^{th}\) fila y la\(j^{th}\) columna del producto\(AB\).
Ahora si\(A\) es\(m \times n\) y\(B\) es\(n \times p\), entonces sabemos que el producto\(AB\) tiene la forma\[\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1j} & \cdots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2j} & \cdots & b_{2p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nj} & \cdots & b_{np} \end{array} \right]\nonumber \]
La\(j^{th}\) columna de\(AB\) es de la forma\[\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{array} \right]\nonumber \] que es un vector de\(m\times 1\) columna. Se calcula por\[b_{1j} \left[ \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right] + b_{2j}\left[ \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right] +\cdots + b_{nj}\left[ \begin{array}{c} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right]\nonumber \]
Por lo tanto, la\(ij^{th}\) entrada es la entrada en fila\(i\) de este vector. Esto es calculado por\[a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\nonumber \]
A continuación se presenta la definición formal para la\(ij^{th}\) entrada de un producto de matrices.
Dejar\(A=\left[ a_{ij}\right]\) ser una\(m\times n\) matriz y dejar\(B=\left[ b_{ij}\right]\) ser una\(n\times p\) matriz. Entonces\(AB\) es una\(m\times p\) matriz y la\(\left( i, j \right)\) -entrada de\(AB\) se define como\[(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj} \nonumber \] Otra forma de escribir esto es\[(AB)_{ij}=\left[ \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{array} \right] = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}\nonumber \]
Es decir, para encontrar la\(\left( i, j \right)\) -entrada del producto\(AB\), o\((AB)_{ij}\), multiplicas la\(i^{th}\) fila de\(A,\) la izquierda por la\(j^{th}\) columna de\(B\). Para expresar\(AB\) en términos de sus entradas, escribimos\(AB = \left[ (AB)_{ij} \right]\).
Considera el siguiente ejemplo.
Calcular\(AB\) si es posible. Si es así, encuentra la\(\left( 3,2 \right)\) -entrada de\(AB\) usar Definición\(\PageIndex{1}\). \[A = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 2 & 6 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 7 & 6 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
Solución
Primero verifique si el producto es posible. Es de la forma\(\left( 3\times 2\right) \left( 2\times 3\right)\) y dado que los números internos coinciden, es posible hacer la multiplicación. El resultado debe ser una\(3\times 3\) matriz. Primero podemos calcular\(AB\):\[\left[ \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 2 & 6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 7 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 2 & 6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 2 & 6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right] \right]\nonumber \] donde las comas separan las columnas en el producto resultante. Por lo tanto, el producto anterior es igual\[\left[ \begin{array}{rrr} 16 & 15 & 5 \\ 13 & 15 & 5 \\ 46 & 42 & 14 \end{array} \right]\nonumber \] que es una\(3\times 3\) matriz según se desee. Así, la\(\left( 3,2 \right)\) -entrada equivale a 42.
Ahora usando Definición\(\PageIndex{1}\), podemos encontrar que la\(\left( 3,2 \right)\) -entrada es igual\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2}a_{3k}b_{k2} &=a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22} \\ &=2\times 3+6\times 6=42\\\end{aligned}\] Consultando nuestro resultado para\(AB\) arriba, ¡esto es correcto!
Es posible que desee utilizar este método para verificar que el resto de las entradas en\(AB\) son correctas.
Aquí hay otro ejemplo.
Determinar si el producto\(AB\) está definido. Si es así, encuentra la\(\left( 2, 1 \right)\) -entrada del producto. \[A= \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 1 \\ 7 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right], B =\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 2 & 6 \end{array} \right]\nonumber \]
Solución
Este producto es de la forma\(\left( 3\times 3\right) \left( 3\times 2\right)\). Los números del medio coinciden por lo que las matrices son conformables y es posible calcular el producto.
Queremos encontrar la\(\left( 2, 1 \right)\) -entrada de\(AB\), es decir, la entrada en la segunda fila y primera columna del producto. Usaremos Definición\(\PageIndex{1}\), que establece\[(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\nonumber \] En este caso,\(n=3\),\(i=2\) y\(j=1\). De ahí que la\(\left( 2, 1 \right)\) entrada -se encuentre\[(AB)_{21} = \sum_{k=1}^{3}a_{2k}b_{k1} = \left[ \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{array} \right]\nonumber \] calculando Sustituyendo en los valores apropiados, este producto se convierte en\[\left[ \begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 7 & 6 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] = 1 \times 7 + 3 \times 6 + 2 \times 2 = 29\nonumber \]
De ahí,\((AB)_{21} = 29\).
Deberías tomarte un momento para encontrar algunas otras entradas de\(AB\). Puedes multiplicar las matrices para verificar que tus respuestas sean correctas. El producto\(AB\) es dado por\[AB = \left[ \begin{array}{cc} 13 & 13 \\ 29 & 32 \\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]