2.5: La Transposición
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Otra operación importante sobre matrices es la de tomar la transposición. Para una matriz\(A\), denotamos la transposición de\(A\) by\(A^T\). Antes de definir formalmente la transposición, exploramos esta operación en la siguiente matriz.
\[\left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & 1 \\ 2 & 6 \end{array} \right] ^{T}= \ \ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 6 \end{array} \right] \nonumber\]
¿Qué pasó? La primera columna se convirtió en la primera fila y la segunda columna se convirtió en la segunda fila. Así, la\(3\times 2\) matriz se convirtió en una\(2\times 3\) matriz. El número\(4\) estaba en la primera fila y la segunda columna y terminó en la segunda fila y primera columna.
La definición de la transposición es la siguiente.
\(A\)Déjese ser una\(m\times n\) matriz. Entonces\(A^{T}\), la transposición de\(A\), denota la\(n\times m\) matriz dada por
\[A^{T} = \left[ a _{ij}\right] ^{T}= \left[ a_{ji} \right]\nonumber \]
La\(\left( i, j \right)\) -entrada de\(A\) se convierte en la\(\left( j,i \right)\) -entrada de\(A^T\).
Considera el siguiente ejemplo.
Calcular\(A^T\) para la siguiente matriz
\[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -6 \\ 3 & 5 & 4 \end{array} \right] \nonumber\]
Solución
Por definición\(\PageIndex{1}\), lo sabemos por\(A = \left[ a_{ij} \right]\),\(A^T = \left[ a_{ji} \right]\). En otras palabras, cambiamos la ubicación de fila y columna de cada entrada. La\(\left( 1, 2 \right)\) -entrada se convierte en la\(\left( 2,1 \right)\) -entrada.
Por lo tanto,\[A^T = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ -6 & 4 \end{array} \right] \nonumber\]
Observe que\(A\) es una\(2 \times 3\) matriz, mientras que\(A^T\) es una\(3 \times 2\) matriz.
La transposición de una matriz tiene las siguientes propiedades importantes.
Dejar\(A\) ser una\(m\times n\) matriz,\(B\) una\(n\times p\) matriz y\(r\) y\(s\) escalares. Entonces
- \[\left(A^{T}\right)^{T} = A\nonumber \]
- \[\left( AB\right) ^{T}=B^{T}A^{T} \nonumber\]
- \[\left( rA+ sB\right) ^{T}=rA^{T}+ sB^{T} \nonumber\]
- Prueba
-
Primero probamos 2. De la definición\(\PageIndex{1}\),
\[ \begin{aligned} \left(AB\right)^{T} &= \left[ (AB) _{ij} \right] ^{T}=\left[ (AB)_{ji} \right]=\sum_{k}a_{jk}b_{ki}= \sum_{k}b_{ki}a_{jk} \\[4pt] &= \sum_{k}\left[ b_{ik}\right]^{T}\left[ a_{kj}\right]^{T}=\left[ b_{ij}\right] ^{T} \left[ a_{ij}\right]^{T} = B^{T}A^{T} \end{aligned}\]
La prueba de la Fórmula 3 se deja como ejercicio.
La transposición de una matriz está relacionada con otros temas importantes. Considera la siguiente definición.
Se dice que una\(n\times n\) matriz\(A\) es simétrica si\(A=A^{T}.\) se dice que es sesgada simétrica si\(A=-A^{T}.\)
Exploraremos estas definiciones en los siguientes ejemplos.
Let
\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & 7 \end{array} \right] \nonumber\]
Use Definición\(\PageIndex{2}\) para mostrar que\(A\) es simétrico.
Solución
Por Definición\(\PageIndex{2}\), tenemos que demostrar eso\(A = A^T\). Ahora, usando Definición\(\PageIndex{1}\),
\[A^{T} = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & 7 \end{array} \right]\nonumber\]
De ahí\(A = A^{T}\),, así\(A\) es simétrico.
Let
\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & 0 \end{array} \right] \nonumber \]
Demostrar que\(A\) es sesgado simétrico.
Solución
Por definición\(\PageIndex{2}\),
\[A^{T} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & -1 & -3\\ 1 & 0 & -2\\ 3 & 2 & 0 \end{array} \right] \nonumber\]
Se puede ver que cada entrada de\(A^T\) es igual a\(-1\) veces la misma entrada de\(A\). De ahí,\(A^{T} = - A\) y así por Definición\(\PageIndex{2}\),\(A\) es simétrico sesgado.