2.7: Encontrar la inversa de una matriz

En el Ejemplo 2.6.1, se nos dio\(A^{-1}\) y se nos pidió verificar que esta matriz era de hecho la inversa de\(A\). En esta sección, exploramos cómo encontrar\(A^{-1}\).

Que\[A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right]\nonumber \] como en el Ejemplo 2.6.1. Para encontrar\(A^{-1}\), necesitamos encontrar una matriz\(\left[ \begin{array}{rr} x & z \\ y & w \end{array} \right]\) tal que\[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} x & z \\ y & w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] podamos multiplicar estas dos matrices, y ver que para que esta ecuación sea cierta, debemos encontrar la solución a los sistemas de ecuaciones,\[\begin{array}{c} x+y=1 \\ x+2y=0 \end{array}\nonumber\] y\[\begin{array}{c} z+w=0 \\ z+2w=1 \end{array}\nonumber \] Escribir la matriz aumentada para estos dos sistemas da\[\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right] \nonumber \] para el primer sistema y\[\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right] \label{inverse2a}\] para el segundo.

Resolvamos el primer sistema. Toma\(-1\) tiempos la primera fila y agrega a la segunda para obtener\[\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right]\nonumber \] Ahora toma\(-1\) tiempos la segunda fila y agrega a la primera para obtener\[\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right]\nonumber \] Escritura en términos de variables, esto dice\(x=2\) y\(y=-1.\)

Ahora resuelve el segundo sistema,\(\eqref{inverse2a}\) para encontrar\(z\) y\(w.\) Encontrarás eso\(z = -1\) y\(w = 1\).

Si tomamos los valores encontrados para\(x,y,z,\)\(w\) y los ponemos en nuestra matriz inversa, vemos que la inversa es\[A^{-1} = \left[ \begin{array}{rr} x & z \\ y & w \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Después de tomarse el tiempo para resolver el segundo sistema, es posible que haya notado que se utilizaron exactamente las mismas operaciones de fila para resolver ambos sistemas. En cada caso, el resultado final fue algo de la forma\(\left[ I|X\right]\) donde\(I\) está la identidad y\(X\) dio una columna de la inversa. En lo anterior,\[\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]\nonumber \] la primera columna de la inversa se obtuvo resolviendo el primer sistema y luego la segunda columna\[\left[ \begin{array}{c} z \\ w \end{array} \right]\nonumber \]

Para simplificar este procedimiento, ¡podríamos haber resuelto ambos sistemas a la vez! Para ello, podríamos haber escrito\[\left[ \begin{array}{rr|rr} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

y fila reducida hasta obtener\[\left[ \begin{array}{rr|rr} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] y leer la inversa como la\(2\times 2\) matriz en el lado derecho.

Esta exploración motiva el siguiente algoritmo importante.

Algorithm\(\PageIndex{1}\): Matrix Inverse Algorithm

Supongamos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz. Para encontrar\(A^{-1}\) si existe, formar la\(n\times 2n\) matriz aumentada\[\left[ A|I\right]\nonumber \] Si es posible hacer operaciones de fila hasta obtener una\(n\times 2n\) matriz del formulario\[\left[ I|B\right]\nonumber \] Cuando esto se haya hecho,\(B=A^{-1}.\) en este caso, decimos que\(A\) es invertible. Si es imposible remar reducir a una matriz de la forma\(\left[ I|B\right] ,\) entonces no\(A\) tiene inversa.

Este algoritmo muestra cómo encontrar la inversa si existe. También te dirá si\(A\) no tiene una inversa.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding the Inverse

Vamos\(A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{array} \right]\). Encuentra\(A^{-1}\) si existe.

Solución

Configurar la matriz aumentada\[\left[ A|I\right] = \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Ahora remaremos reducir, con el objetivo de obtener la matriz de\(3 \times 3\) identidad en el lado izquierdo. Primero, toma\(-1\) veces la primera fila y agrega a la segunda seguido de\(-3\) veces la primera fila sumada a la tercera fila. Esto rinde\[ \ \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & -7 & -3 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] Luego toma 5 veces la segunda fila y suma a -2 veces la tercera fila. \[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 0 & -5 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 1 & 5 & -2 \end{array} \right]\nonumber \]A continuación toma la tercera fila y agrega a\(-7\) veces la primera fila. Esto rinde\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} -7 & -14 & 0 & -6 & 5 & -2 \\ 0 & -10 & 0 & -5 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 1 & 5 & -2 \end{array} \right]\nonumber \] Ahora toma\(-\frac{7}{5}\) veces la segunda fila y agrega a la primera fila. \[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} -7 & 0 & 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -10 & 0 & -5 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 14 & 1 & 5 & -2 \end{array} \right]\nonumber \]Por último dividir la primera fila por -7, la segunda fila por -10 y la tercera fila por 14 lo que da como resultado\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & - \ \frac{1}{7} & \ \frac{2}{7} & \ \frac{2}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \ \frac{1}{2} & - \ \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ \frac{1}{14} & \ \frac{5}{14} & - \ \frac{1}{7} \end{array} \right]\nonumber \] Observe que el lado izquierdo de esta matriz es ahora la matriz de\(3 \times 3\) identidad\(I_3\). Por lo tanto, la inversa es la\(3 \times 3\) matriz en el lado derecho, dada por\[\left[ \begin{array}{rrr} - \ \frac{1}{7} & \ \frac{2}{7} & \ \frac{2}{7} \\ \ \frac{1}{2} & - \ \frac{1}{2} & 0 \\ \ \frac{1}{14} & \ \frac{5}{14} & - \ \frac{1}{7} \end{array} \right]\nonumber \]

Puede suceder que a través de este algoritmo, descubras que el lado izquierdo no se puede reducir en fila a la matriz de identidad. Consideremos el siguiente ejemplo de esta situación.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): A Matrix Which Has No Inverse

Vamos\(A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{array} \right]\). Encuentra\(A^{-1}\) si existe.

Solución

Escribe la matriz aumentada\(\left[ A|I\right]\)\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] y procede a realizar operaciones de fila intentando obtener\(\left[ I|A^{-1}\right] .\) Take\(-1\) times la primera fila y agregarla a la segunda. Después toma\(-2\) tiempos la primera fila y agrega a la tercera fila. \[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]A continuación agrega\(-1\) tiempos de la segunda fila a la tercera fila. \[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]En este punto, se puede ver que no habrá forma de obtener\(I\) en el lado izquierdo de esta matriz aumentada. De ahí que no haya manera de completar este algoritmo, y por lo tanto\(A\) no existe la inversa de. En este caso, decimos que no\(A\) es invertible.

Si el algoritmo proporciona una inversa para la matriz original, siempre es posible verificar su respuesta. Para ello, utilice el método demostrado en el Ejemplo 2.6.1. Comprobar que los productos\(AA^{-1}\) y\(A^{-1}A\) ambos sean iguales a la matriz de identidad. A través de este método, ¡siempre puedes estar seguro de que has calculado\(A^{-1}\) correctamente!

Una forma en la que resulta útil la inversa de una matriz es encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Recordemos de la Definición 2.2.4 que podemos escribir un sistema de ecuaciones en forma de matriz, que es de la forma\(AX=B\). Supongamos que encuentra la inversa de la matriz\(A^{-1}\). Entonces podrías multiplicar ambos lados de esta ecuación a la izquierda por\(A^{-1}\) y simplificar para obtener\[\begin{array}{c} \left( A^{-1} \right) AX =A^{-1}B \\ \left(A^{-1}A\right) X = A^{-1}B \\ IX = A^{-1}B \\ X = A^{-1}B \end{array}\nonumber \] Por lo tanto podemos encontrar\(X\), la solución al sistema, por computación\(X=A^{-1}B\). Tenga en cuenta que una vez que haya encontrado\(A^{-1}\), puede obtener fácilmente la solución para diferentes lados de la mano derecha (diferentes\(B\)). Siempre es justo\(A^{-1}B\).

Exploraremos este método para encontrar la solución a un sistema en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Using the Inverse to Solve a System of Equations

Considera el siguiente sistema de ecuaciones. Utilizar la inversa de una matriz adecuada para dar las soluciones a este sistema. \[\begin{array}{c} x+z=1 \\ x-y+z=3 \\ x+y-z=2 \end{array}\nonumber \]

Solución

Primero, podemos escribir el sistema de ecuaciones en forma de matriz\[AX = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] = B \label{inversesystem1}\]

La inversa de la matriz\[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right]\nonumber \] es\[A^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & \ \frac{1}{2} & \ \frac{1}{2} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & - \ \frac{1}{2} & - \ \frac{1}{2} \end{array} \right]\nonumber \]

Verificar esta inversa se deja como un ejercicio.

A partir de aquí, la solución al sistema dado\(\eqref{inversesystem1}\) es encontrada por\[\left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] = A^{-1}B = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & \ \frac{1}{2} & \ \frac{1}{2} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & - \ \frac{1}{2} & - \ \frac{1}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} \ \frac{5}{2} \\ -2 \\ - \ \frac{3}{2} \end{array} \right]\nonumber \]

Y si el lado derecho,\(B\), de\(\eqref{inversesystem1}\) hubiera sido\(\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right] ?\) En otras palabras, cuál sería la solución a\[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right] ?\nonumber \] Por la discusión anterior, la solución viene dada por\[\left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] = A^{-1}B = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & \ \frac{1}{2} & \ \frac{1}{2} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & - \ \frac{1}{2} & - \ \frac{1}{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ -2 \end{array} \right]\nonumber \] Esto ilustra que para un sistema\(AX=B\) donde\(A^{-1}\) existe, es fácil encontrar la solución cuando el vector \(B\)se cambia.

Concluimos esta sección con algunas propiedades importantes de la inversa.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Inverses of Transposes and Products

Dejar\(A, B\), y\(A_i\) para\(i=1,...,k\) ser\(n \times n\) matrices.

1. Si\(A\) es una matriz invertible, entonces\((A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}\)
2. Si\(A\) y\(B\) son matrices invertibles, entonces\(AB\) es invertible y\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
3. Si\(A_1, A_2, ..., A_k\) son invertibles, entonces el producto\(A_1A_2 \cdots A_k\) es invertible, y\((A_1A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1}A_{k-1}^{-1} \cdots A_2^{-1}A_1^{-1}\)

Considera el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Properties of the Inverse

Dejar\(A\) ser una\(n \times n\) matriz y\(I\) la matriz de identidad habitual.

1. \(I\)es invertible y\(I^{-1} = I\)
2. Si\(A\) es invertible entonces también lo es\(A^{-1}\), y\((A^{-1})^{-1} = A\)
3. Si\(A\) es invertible entonces también lo es\(A^k\), y\((A^k)^{-1} = (A^{-1})^k\)
4. Si\(A\) es invertible y\(p\) es un número real distinto de cero, entonces\(pA\) es invertible y\((pA)^{-1} = \frac{1}{p}A^{-1}\)