2.6: La identidad y las inversas
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Hay una matriz especial, denotada\(I\), a la que se le llama como la matriz de identidad. La matriz de identidad es siempre una matriz cuadrada, y tiene la propiedad de que hay unos abajo de la diagonal principal y ceros en otra parte. Aquí hay algunas matrices de identidad de varios tamaños.
\[\left[ 1\right] ,\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]
La primera es la matriz de\(1\times 1\) identidad, la segunda es la matriz de\(2\times 2\) identidad, y así sucesivamente. Por extensión, es probable que se pueda ver cuál sería la matriz de\(n\times n\) identidad. Cuando sea necesario distinguir qué tamaño de matriz de identidad se está discutiendo, utilizaremos la notación\(I_n\) para la matriz de\(n \times n\) identidad.
La matriz de identidad es tan importante que existe un símbolo especial para denotar la\(ij^{th}\) entrada de la matriz de identidad. Este símbolo viene dado por\(I_{ij}=\delta _{ij}\) donde\(\delta _{ij}\) está el símbolo Kronecker definido por\[\delta _{ij}=\left\{ \begin{array}{c} 1 \text{ if }i=j \\ 0\text{ if }i\neq j \end{array} \right.\nonumber \]
\(I_n\)se llama la matriz de identidad porque es una identidad multiplicativa en el siguiente sentido.
Supongamos que\(A\) es una\(m\times n\) matriz y\(I_{n}\) es la matriz de\(n\times n\) identidad. Entonces\(AI_{n}=A.\) Si\(I_{m}\) es la matriz de\(m\times m\) identidad, también se deduce que\(I_{m}A=A.\)
- Prueba
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El\((i,j)\) -ingreso de\(AI_n\) está dado por:\[\sum_{k}a_{ik}\delta _{kj}=a_{ij}\nonumber \] y así\(AI_{n}=A.\) El otro caso se deja como ejercicio para ti.
Ahora definimos la operación matricial que de alguna manera juega el papel de división.
\(A\)Se dice que una\(n\times n\) matriz cuadrada tiene una inversa\(A^{-1}\) si y solo si
\[AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\nonumber \]
En este caso, la matriz\(A\) se denomina invertible.
Dicha matriz\(A^{-1}\) tendrá el mismo tamaño que la matriz\(A\). Es muy importante observar que la inversa de una matriz, si existe, es única. Otra forma de pensar en esto es que si actúa como la inversa, entonces es\(\textbf{is}\) la inversa.
Supongamos que\(A\) es una\(n \times\ n\) matriz tal que\(A^{-1}\) existe una inversa. Entonces sólo hay una de esas matrices inversas. Es decir, dada cualquier matriz\(B\) tal que\(AB=BA=I\),\(B=A^{-1}\).
- Prueba
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En esta prueba, se asume que\(I\) es la matriz de\(n \times n\) identidad. \(A, B\)Dejen ser\(n \times n\) matrices tal que\(A^{-1}\) existe y\(AB=BA=I\). Eso queremos demostrarlo\(A^{-1} = B\). Ahora usando propiedades que hemos visto, obtenemos:
\[A^{-1}=A^{-1}I=A^{-1}\left( AB\right) =\left( A^{-1}A\right) B=IB=B\nonumber \]
De ahí, lo\(A^{-1} = B\) que nos dice que lo inverso es único.
El siguiente ejemplo demuestra cómo verificar la inversa de una matriz.
Let\(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right] .\) Show\(\left[ \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right]\) es la inversa de\(A.\)
Solución
Para verificar esto, multiplique\[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right] = \ \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = I\nonumber \] y\[\left[ \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right] = \ \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = I\nonumber \] mostrando que esta matriz es efectivamente la inversa de\(A.\)
A diferencia de la multiplicación ordinaria de números, puede suceder eso\(A\neq 0\) pero\(A\) puede no tener una inversa. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.
Let\(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] .\) Show que\(A\) no tiene una inversa.
Solución
Se podría pensar que\(A\) tendría una inversa porque no equivale a cero. No obstante, tenga en cuenta que\[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right]\nonumber \] Si\(A^{-1}\) existiera, tendríamos lo siguiente ¡\[\begin{aligned} \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right] &= A^{-1}\left( \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right] \right) \\ &= A^{-1}\left( A\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right] \right) \\ &=\left( A^{-1}A\right) \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right] \\ &=I\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right]\end{aligned}\]Esto dice\[\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \] lo que es imposible! Por lo tanto,\(A\) no tiene una inversa.
En la siguiente sección, exploraremos cómo encontrar la inversa de una matriz, si existe.