3.3: Búsqueda de Determinantes mediante Operaciones de Fila

Los teoremas 3.2.1, 3.2.2 y 3.2.4 ilustran cómo las operaciones de fila afectan al determinante de una matriz. En esta sección, observamos dos ejemplos en los que se utilizan operaciones de fila para encontrar el determinante de una matriz grande. Recordemos que cuando se trabaja con matrices grandes, Laplace Expansion es efectiva pero oportuna, ya que hay muchos pasos involucrados. Esta sección proporciona herramientas útiles para un método alternativo. Al aplicar primero las operaciones de fila, podemos obtener una matriz más simple a la que aplicamos Laplace Expansion.

Mientras trabaja a través de preguntas como estas, es útil registrar sus operaciones de fila a medida que avanzas. Ten esto en cuenta mientras lees el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding a Determinant

Encuentra el determinante de la matriz\[A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & -4 & 5 \end{array} \right]\nonumber \]

Solución

Utilizaremos las propiedades de los determinantes señalados anteriormente para encontrar\(\det \left(A\right)\). Primero, agrega\(-5\) veces la primera fila a la segunda fila. Después agrega\(-4\) veces la primera fila a la tercera fila, y\(-2\) veces la primera fila a la cuarta fila. Esto arroja la matriz\[B=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -9 & -13 & -17 \\ 0 & -3 & -8 & -13 \\ 0 & -2 & -10 & -3 \end{array} \right]\nonumber \] Observe que la única operación de fila que hemos realizado hasta ahora es agregar un múltiplo de una fila a otra fila. Por lo tanto, por el Teorema 3.2.4,\(\det \left(B\right) = \det \left(A\right).\)

En esta etapa, podrías usar Laplace Expansion para encontrar\(\det \left(B\right)\). Sin embargo, continuaremos con las operaciones de fila para encontrar una matriz aún más simple con la que trabajar.

Agrega\(-3\) tiempos de la tercera fila a la segunda fila. Por Teorema 3.2.4 esto no cambia el valor del determinante. Entonces, multiplica la cuarta fila por\(-3\). Esto da como resultado la matriz\[C=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 11 & 22 \\ 0 & -3 & -8 & -13 \\ 0 & 6 & 30 & 9 \end{array} \right]\nonumber \] Aquí,\(\det \left(C\right) = -3 \det \left(B\right)\), lo que significa que\(\det \left( B\right) =\left(-\frac{1}{3}\right) \det \left( C\right)\)

Ya que\(\det \left(A\right) = \det \left(B\right)\), ahora tenemos eso\(\det \left(A\right) = \left(-\frac{1}{3}\right) \det \left( C\right)\). De nuevo, podrías usar Laplace Expansion aquí para encontrar\(\det \left(C\right)\). No obstante, continuaremos con las operaciones de fila.

Ahora reemplace la\(2\) suma por la tercera fila a la cuarta fila. Esto no cambia el valor del determinante por el Teorema 3.2.4. Finalmente cambiar la tercera y segunda filas. Esto hace que el determinante sea multiplicado por\(-1.\) Así\(\det \left( C\right) = -\det \left( D\right)\) donde\[D=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -8 & -13 \\ 0 & 0 & 11 & 22 \\ 0 & 0 & 14 & -17 \end{array} \right]\nonumber \]

Por lo tanto,\(\det \left(A\right) = \left(-\frac{1}{3}\right) \det \left( C\right) = \left(\frac{1}{3}\right) \det \left( D\right)\)

Podría hacer más operaciones de fila o podría notar que esto se puede expandir fácilmente a lo largo de la primera columna. Después, expanda la\(3 \times 3\) matriz resultante también a lo largo de la primera columna. Esto da como resultado\[\det \left( D\right) =1\left( -3\right) \left\vert \begin{array}{cc} 11 & 22 \\ 14 & -17 \end{array} \right\vert = 1485\nonumber \] y así\(\det \left( A\right) =\left(\frac{1}{3}\right) \left( 1485\right) =495.\)

Se puede ver que mediante el uso de operaciones de fila, podemos simplificar una matriz hasta el punto en que Laplace Expansion implica solo unos pocos pasos. En Ejemplo\(\PageIndex{1}\), también podríamos haber continuado hasta que la matriz estuvo en forma triangular superior, y tomar el producto de las entradas en la diagonal principal. Siempre que se compute el determinante, es útil considerar todos los métodos y herramientas posibles.

Consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Find the Determinant

Encuentra el determinante de la matriz\[A = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 5 \\ 3 & -4 & 1 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]

Solución

Una vez más, simplificaremos la matriz a través de operaciones de fila. Agrega\(-1\) tiempos de la primera fila a la segunda fila. A continuación agrega\(-2\) tiempos la primera fila a la tercera y finalmente toma\(-3\) veces la primera fila y agrega a la cuarta fila. Esto rinde\[B = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & -5 & -1 & -1 \\ 0 & -3 & -4 & 1 \\ 0 & -10 & -8 & -4 \end{array} \right]\nonumber \] Por Teorema 3.2.4,\(\det \left(A\right) = \det \left(B\right)\).

Recuerda que también puedes trabajar con las columnas. Toma\(-5\) tiempos la cuarta columna y agrega a la segunda columna. Esto rinde\[C = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -8 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -8 & -4 & 1 \\ 0 & 10 & -8 & -4 \end{array} \right]\nonumber \] Por Teorema 3.2.4\(\det \left(A\right) = \det \left(C\right)\).

Ahora toma\(-1\) tiempos la tercera fila y agrega a la fila superior. Esto da. \[D = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -8 & -4 & 1 \\ 0 & 10 & -8 & -4 \end{array} \right]\nonumber \]que por Teorema 3.2.4 tiene el mismo determinante que\(A\).

Ahora, podemos encontrar\(\det \left(D\right)\) expandiéndonos a lo largo de la primera columna de la siguiente manera. Se puede ver que sólo habrá un término distinto de cero. \[\det \left(D\right) = 1 \det \left[ \begin{array}{rrr} 0 & -1 & -1 \\ -8 & -4 & 1 \\ 10 & -8 & -4 \end{array} \right] + 0 + 0 + 0\nonumber \]Ampliándonos de nuevo a lo largo de la primera columna, tenemos\[\det \left(D\right) = 1 \left ( 0 + 8\det \left[ \begin{array}{rr} -1 & -1 \\ -8 & -4 \end{array} \right] +10\det \left[ \begin{array}{rr} -1 & -1 \\ -4 & 1 \end{array} \right] \right) = -82\nonumber \]

Ahora desde entonces\(\det \left(A\right) = \det \left(D\right)\), se deduce que\(\det \left(A\right) = -82\).

Recuerda que puedes verificar estas respuestas usando Laplace Expansion en\(A\). Del mismo modo, si primero calcula el determinante usando Laplace Expansion, puede usar el método de operación de fila para verificar.